epsilon

落書き

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf

 

モナドの射a:C \to Dとして典型的にはA_\infty-operadのaugmentation \epsilon:C \to MまたはCをE_\infty-operadに付随するモナドとしてa_n:C_n \to \Omega^nS^nを考える。

Theorem 9.10

a:C \to DをTのモナドの射とする。

 

XをC代数とすると、B_*(D,C,X)はsimplicial D-algであり、

自然なsimplicial C代数の射\epsilon_*(\xi):B_*(C,C,X) \to X_*とB_*(a,1,1):B_*(C,C,X) \to B_*(D,C,X)が存在する。

\epsilon_*(\xi)はSTにおけるstrong deformation retractであり、右逆\tau_*(\eta)をもつ。

またB_*(a,1,1)\tau_*(\eta)=\tau_*(\zeta):X_* \to B_*(D,C,X)となる。

 

(X, x\i')をD代数とすると、simplicial D代数の自然な射\epsilon(\xi'):B_*(D,C,X) \to X_*が存在し、\epsilon_*(\xi')\tau_*(\zeta)=1, \epsilon_*(\xi')B_*(a,1,1)=\epsilon_*(\xi'a):B_*(C,C,X) \to X_*となる。

 

Y \in Tに対し、simplicial D代数の自然なstrong deformation retract \epsilon_*(\nuDa):B_*(D,C,CY) \to D_*Y_*が存在して右逆\tau_*(D\eta)をもつ。

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B_*(C,C,X)はXのsimplicial resolutionになっている。

つまり、CをTのモナドとしXをC代数とする。

このとき、\epsilon:B_*(C,C,X) \to X_*と\eta:X_* \to B_*(C,C,X)が定まり、\epsilon\eta=1である。

h:B_q(C,C,X) \to B_{q+1}(C,C,X)をh_i=s_0^i\etad_0^iで定めると、これがid_{B_*(C,C,X)}と\tau\epsilonのホモトピーになり、h_i\tau_q=\tau_{q+1}となる。

したがってX_*はB_*(C,C,X)のSTにおけるstrong deformation retractである。

 

同様にFとCを固定して、関手Y \mapsto B_*(F,C,CY)はFのsimplicial resolutionである。

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圏T, Vに対して、圏B(T,V)と関手B_*:B(T,V) \to STを以下で構成する。

 

まずB(T,V)の対象は三つ組(F,C,X)であってCはTのmonadであり、FはC関手T \to Vで、XはC代数。

つまり、

- Cは関手C:T \to Tと自然変換\mu:C^2 \to C, \eta:1 \to Cの組、

- Fは関手F:T \to Vと自然変換\lambda:FC \to F

- XはTの対象Xと射\zi:CX \to X

射(F,C,X) \to (F',C',X')は

- monadの射\phi:C \to C'

- F'を\phiで引き戻したC関手\phi^*F'へのFからの射\pi

- X'を\phiで引き戻したC代数\phi^*X'へのXからの射f

 

次に関手B_*を定める。

まずB_q(F,C,X) = FC^qXとし、d_iとs_jを定める。

- d_0=\lambda(C^{q-1}X):FC^qX \to FC^{q-1}X

- d_i=FC^{i-1}\mu(X):FC^qX \to FC^{q-1}X

- d_q=FC^{q-1}\xi(X):FC^qX \to FC^{q-1}X

- s_j=FC^j\eta

 

射の対応はf:X \to \phi^*X'と\pi\phi^q:FC^q \to F'(C')^qの合成から得られる\pi\phi^qf:FC^qX \to F'(C')^qX'で定める。

これにより関手B(T,V) \to STが定まる。

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(C,\mu,\eta)をTのモナドとすると(C_*,\mu_*,\eta_*)はSTのモナドであり、S(C[T])とC_*[ST]は一致する。

 

Tのモナド(C,\mu,\eta)に対し、C関手(F,\lambda)とは関手T \to Vと自然変換\lambda:FC \to Fであって、\lambdaF\eta=id_F, \lambdaF\mu=\lambda\lambdaCとなるもの。

 

 (C, \mu)自身はC関手であり、モナドの射C \to DがあればD関手を引き戻してC関手を定めることができる。

 

随伴関手\Lambda:V \to Tと\Sigma:T \to Vがあり、\phi:Hom(X,\LambdaY) \to Hom(\SigmaX, Y)とする。

\Lambda\Sigmaがモナドを定め、(\Sigma, \phi(1))は\Lambda\Sigma関手である。

さらにモナドの射a:C \to \Lambda\Sigmaがあると、\phi(a)=\phi(1)\Sigma(a):\Sigma(C) \to \Sigmaであり、(\Sigma, \phi(a))はC関手で、aがC関手の射を定める。

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()_*:T \to STを定数関手とし、U:ST \to Tを0番目を対応させる関手とする。

このときHom(X,UY) \to Hom(X_*,Y)が定まる。

f:X \to UYからX_q \to Y_qをs_0^qfを対応させることでX_* \to Yが定まる。

 

g:UY \to Xであってgd_0=gd_1:Y_1 \to XであればY \to X_*がgd_0^qにより定まる。

 

F:T \to T'を関手とするとF_*:ST \to ST'が誘導される。

自然変換\mu:F \to Gから自然変換F_* \to G_*が誘導される。

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STを圏Tの単体的対象のなす圏とする。

つまりTの対象X_qの列とd_i:X_q \to X_{q-1}, s_i:X_q \to X_{q+1}の列で、

- d_id_j = d_{j-1}d_i if i<j

- d_is_j = s_{j-1}d_i if i<j, 1 if i=j or i=j+1, s_jd_{i-1} if i > j+1

- s_is_j = s_{j+1}s_i if i <j+1

をみたすもの。

 

STには純粋にTによらずにホモトピー同値や変形レトラクトを定めることができる?が、Tが空間の圏なら幾何的実現により通常のものと一致する。

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ここからは両側bar構成について紹介する。

幾何的実現により、

- 与えられたA_\infty空間と弱ホモトピー同値な位相モノイド

- C_n空間のn-fold delooping

- 位相モノイドのMilgram分類空間のStasheffによる一般化

が得られる。

 

またホモロジー台数での両側バー構成も得られる。