http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf
stable homotopy groupとは、
\pi_n^s(X) = \lim_N \pi_{n+N}(S^N \wedge X)
のこと。
topological invarianとS^1 \wedge との関係について。空間レベルで、このような性質を持つ圏を構成したい。
shpere spectrum Sは環Rと思うと、spectraはR-modである。
The Geometry of Iterated Loop Spaces
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Xをproper simplicial spaceとし、k_*をhomology theoryとする。
各qについてk_q(X)はsimplicial abelian groupであり、d=\sum(-1)^id_iによりこれを複体とみなすことにより、ホモロジーH_*k*(X)をH_pk_q(X)が次数pがk_q(X)であるように定めることができる。
このとき、E^2_{p,q}=H_pk_q(X)はXのgeom. real. のfiltrationから定まるk_*のスペクトル系列になる。
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SUのcelluar objectとは、各X_qがCW複体で、d_i, s_jがcellular mapであること。
Theorem 11.5
geometric realizationと直積は交換する。
Theorem 11.12
n>=0とする。Xがstrictly properでX_qがn-q連結なら、Xのgeometric realizationはn連結。
Theorem 11.13
f:X \to Yがstrictly properの間のsimplicial mapとする。
- f_qがweak homotopy eqでXとYのgeom. real.が単連結
- fのgeom. real.がconn H-sp.の間のH-map
のいずれかが成り立てば、fのgeom. real.はhomootopy eq
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Uをcompactly generated Hausdorff spaceの圏とする。
SUの対象Xのgeometric realizationとはX_q \times \Delta_qの直和の次の同値関係に夜商。
- (x,u) \in X_q \times \Delta_{q-1}の像(d_ix,u)と(x,d_iu)は同値
- (x,u) \in X_q \times \Delta_{q+1}の像(s_ix,u)と(x,s_iu)は同値
ここで、位相はX_i \tiems \Delta_iのi=qまでの商への像に商位相を入れ、それらの和により全体の位相を定める。
X \in SUに対しsX_q=\union_j s_jX_q \subset X_{q+1}とする。
Xがproperとは、すべての(X_{q+1}, sX_q)がstrong NDR-pairであること。
(X,A)がstrong NDR-pairとは、あるu:X \to [0,1]とホモトピーh:X \times [0,1] \to Xが存在し、
- A = u^{-1}(0)
- h(0,x) = x for all x \in X
- h(a,t) \in A for all a \in A
- u(x)<1 -> h(x,1) \in A
- u(x)<1 -> u(h(x,1)) < 1
https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/strong_ndr_pairs_a_technical_q.html
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Uがmonoidalかつabelianとする。
SUの対象はUの複体をd=\sum(-1)^id_iにより定める。
さらにhがSUのfとgのホモトピーであるとき、s=\sum(-1)^ih_iはfとgの複体のホモトピーとなる。つまりds+sd=f-gである。
B_*(Y,G,X)をこのように複体とみると、通常の両側バー構成である。
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Uをmonoidal catとしGをそのmonoid objectとする。
G-objとはG \otimes X \to X付きのUの対象で適切な可換図式を満たすもの。
これはmonad GについてのG代数と同じ。
(Y,G,X)をGがUのmonoidでYがleft G-ob, Xがright G-obとする。
これにたいし、Uのsimplicial obj B_*(Y,G,X)をB_q(Y,G,X)=YG^qXにより定める。
A(U)をこのような(Y,G,X)のなす圏とし、Uがsymmetricとする。
このときA(U)の積を(Y\otimes Y', G\otimes G', X \otimes X')により定めることができ、
これが上のB_*の構成と可換になる。
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D=\Lambda\Sigmaの場合を考える。ここで\Lambda:V \to Tと\Sigma:T \to Vは随伴。特にa:C_n \to \Omega^nS^nであればこれはC_nのdeloopingを考えることになる。
Theorem 9.11
a:C \to \Lambda\SigmaをTのモナドの射とする。
ここで\Lambda\Sigmaは随伴\phi:\Hom(X,\Lambda Y) \to Hom(\Sigma X, Y)
- C代数Xに対し、B_*(\Lambda\Sigma,C,X) = \Lambda_*B_*(\Sigma,C,X)
- Y \in Vに対し(\Lambda Y, \Lambda\phi(1))は\Lambda\Sigma代数であり、SVの自然な射\epsilon_*\phi(1):B_*(\Sigma,C,\Lambda Y) \to Y_*が存在する。また、\epsilon_*(\Lambda\phi(1))=\Lambda_*\epsilon_*\phi(1):\Lambda_*B_*(\Sigma,C,\Lambda Y) \to \LAmbda_*Y_*となる。
- Y \in Tに対し、SVにおける自然なstrong deformation retract \epsilon_*\phi(a):B_*(\Sigma,C,CY) \to \Sigma_*Y_*が存在し、\tau_*(\Sigma\eta):Y \to CYが右逆。
