epsilon

落書き

stable homotopy category 8

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf

 

stable homotopy categoryをHoSpectraと書くことにする。

suspension spectrumを定める関手HoTop_* \to HoSpectraが存在する。

loop spaceを定める関手\Omega:HoSpectra \to HoTop_*がこれの右随伴を与える。

 

HoSpectraの射の集合[X,Y]に群構造をさだめることができるらしい。

[\Sigma X, Y] = [X, \Omega Y]であり、X \to \Omega YはX \to (S^1 \to Y)で、S^1 \to Yが(起点を決めれば)群構造を持つので?これから値についての演算から群構造を定める。

stable homotopy category 7

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf

 

stable homotopy categoryは次のような性質を持つ。

- 随伴\Sigma : T \to SHC : \Omegaを持つ

- 三角圏でsuspensionが圏同値

- 加法圏、次数付き

- 任意の積と余積を持つ

- closed symm monoidal

- 対象はコホモロジー理論を表現する

- spectrumは全てCW spectrumにweであり、SHCはhtpy cat of CW spectraに剣道ち。

stable homotopy category 6

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf

 

spectrumの例としては、

suspension spectra \SigmaXを(\SigmaX)_n=S^n \wedge Xで定める。

また特にsphere spectrum S^n=\SigmaS^nを定めることができる。

 

Eをspectraとし、そのホモトピー群\pi_n(E)を[S^n,E]=\lim_{N\to\infty}[S^{n+N},E_n]と定める。

spectraの射がweとはhtpyの射が全て同型であることをいい、これによりhomotopy category of spectraを定める。

さらにweの形式的逆を付け加えてstable homotopy categoryを定める。

stable homotopy category 5

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf

 

Brown representability

Eを加法的コホモロジー理論とする。

この時、点付きCW cpxの列K_nとhtpy eq \sigma_n:K_n \to \OmegaK_{n+1}

及びu_n \in E^n(K_n)であって、u_nの引き戻しが定める射[X,K_n]_* \to \tilde{E}^n(X)が全単射になり、\sigma_nがsuspension isomと整合的なものが存在する。

 

この定理を動機として、Whiteheadはspectraを定義した。

prespectraとはptd CW cpx E_nの列と\sigma_n:E_n \wedge S^1 \to E_{n+1}のこと。

\Omega-spectrumとはprespectrumであって\sigma_n:E_n \to \OmegaE_{n+1}がweであるもの。

spectraとは\sigma_nがhomeoであるもの

stable homotopy category 4

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf

 

AtiyahとHirzebruchによる位相的K理論。

Bott周期性\pi_n(BO) \cong \pi_{n+8}(BO)から\tilde{K}O(X) = [X, BO\times \Z]の周期性\tilde{K}O^n(X) \cong \tilde{K}O^{n+8}(X)が成立。

ベクトル束のテンソル積がKO理論の積を定める。

 

アーベル群\piに対し、Eilenberg-MacLane空間K(\pi,n)とは\pi_n(K(\pi,n))=\piで他の\pi_qが0であるもの。

この時\tilde{H}^n(X;\pi)=[X,K(\pi,n)]となる。

つまりreduced cohomologyを表現する。

さらにsuspension isom K(\pi,n) = \OmegaK(\pi,n)が成り立ち、\piが可換環Rの時、K(R,m) \wedge K(R,n) \to K(R,m+n)がカップ積を定める。

stable homotopy category 3

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf

 

一般コホモロジーとスペクトラム。

Thomによるコボルディズム。

コボルディズム類の集合N_nは安定ホモトピー\pi^s_nTOに同型。

ここでTO(q)はEO(q) \to BO(q)のThom空間。

またベクトル束の直和に対応する射BO(q) \times BO(r) \to BO(q+r)から

TO(q) \wedge TO(r) \to TO(q+r)が定まり、これが誘導するホモトピーの射が多様体の直積に対応する。

stable homotopy category 2

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf

 

CW複体とホモトピーを扱うためのよい圏を作る。

よい圏とは?

- 三角圏(ホモトピー、ホモロジーの長完全列)

- 加法圏

- 対象モノイダル圏(スマッシュ積)

など

Boardman, Whitehead, Spanier, Adams, Mayなど。

Schwede-Shipleyにより一意性。