epsilon

落書き

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf C_nの作用を通してmonadの射C_n \to \Omega^nS^nを定義する。 まず、随伴Hom(X,\OmegaY) \to Hom(SX,Y)が存在する。 これを繰り返したものを\phi^n:Hom(X,\Omega^nY) \to Hom(S^n,Y)とおく。 これの逆写像…

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf little cube operad C_nがloop spaceに作用することを見る。 L_nを以下で定めるn-fold loop seqの圏とする。 - 対象は{Y_i}nの列でY_i = \OmeraY_{i+1}なるもの - 射はY_iの間の射で\Omegaと整合的なもの…

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf C_n(j)は\Sigma_j-eq homotopy eq to F(R^n;j)であり、従ってC_1はA_\infty-operadでC_nはlocally (n-2)-connected \Sigma-free operad/Nであり、C_inftyはE_infty-operadである。 ここでF(R^n;j)はR^nの…

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf I^nを[0,1]^nとし、J^nをその内部とする。 little n-cubeとは線形埋め込みf:J^n \to J^nで軸が平行なものとする。 つまり、f=f_1\times \cdots\times f_nでf_i=(y_i-x_i)t+x_iとかける。 C_n(j)をlittle n…

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf discrete operad Dに対しoperad/DとはC \to Dで\pi_0(C) \to Dが同型なるもの。 Cが\Sigma-free operadとは各C(j)への\Sigma_jの作用がfreeなこと。 A_\infty-operadとは\Sigma-free operad/Mであって、C …

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf operadの例としてA_\inftyとE_\inftyを見る。 まずdiscrete operad MとNを定義する。 M-spaceはtopological monoidであり、N-spaceはcomm top monoidであるようなもの。 M(j)=\Sigma_jで\gammaを文字を順…

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf 圏Tのmonad (C, \mu, \eta)とは関手C:T \to T, 自然変換\mu:C^2 \to C, \eta:1 \to Cであって、\mu(X)C\eta(X)=\mu(X)\eta(CX)=\id_(CX)と\mu(X)\mu(CX)=\mu(X)C\mu(X)を満たすもの。 monad C上のalgebra(…

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Operadとはj>=0に対して、空間C(j)が定まっており、C(0)は点でさらに - 連続写像\gamma:C(k) \times C(j1) \times \cdots \times C(jk) \to C(j)でj=sum(j_i)であり、複雑な結合法則を満たす - 1 \in C(1)…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf \tau関数の例 p_1,\ldots,p_mを0でない絶対値1未満の複素数とし、p_i^2が相異なるとする。 \lambda_1,\ldots,\lambda_mを0でないとする。 W=W_{p,\lambda}を単位円盤の原点以外で正則で原点でたかだ…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf \tau-function W \in Grに対して、Wの\tau-function \tau_Wとは、正則関数\Gamma_+ \to Cであって、 \tau_W(g)=\sigma(g^{-1}W)/g^{-1}\delta_Wで定まるもの。 \delta_Wはfibre (Det^*)_Wのある0で…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf C^\times \to GL_1^ \to GL_1(H)^0は非自明なfiber bundleである。 つまり切断を持たず、また拡大は連続コサイクルで記述できない。 GL_1^reg \subset GL_1(H)^0をaが可逆な元のなす部分群とすると…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf GL_1がadm basisにどのように作用するかをみる。 GL_1(H)^0 \times GL(H_+)の部分群Eを(g,q)であって、aq^{-1}-1がtrace classであるようなもののなす部分群とする。 このEに(g,q) \maspto (g,q,aq^…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf 有限次元と無限次元の違い。 GL_n(C)はGr_k(C^n)に作用し、detにも作用する。 一方、無限次元の場合にはGrにGL_res(H)が作用するが、Detには作用しない。 Wのadm basis{w_i}に対し{gw_i}がgWのadm b…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf w:H_+ \to HをZ \times N行列w = (w+, w-)と考える。 前の条件は、w+-1がtrace classであるということ。 Det(W)の元を(w,\lambda)で\lambda \in CでwをWのadmissible basisとし、N \times N行列(つ…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf detrminant bundleを定義する。 これはW \in GrでのfiberがWの最高次の外積になるようなものだが、無限次元なので安直には定義できない。 Wのadmissible basisを定義し、それのwedgeを基底とする直…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf W \in Gr^{(n)}にloopを対応させるには次のようにする。 W/zWがn次元空間なので、その基底w_1,\ldots,w_nをとり、これらをS^1 \to GL_n(\C)なる関数と思うことにする。 基底を正規直交に取ればU_nに…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf Grassmannianとloop groupの関係について。 H^nをS^1 \to C^nで二乗可積分な関数のなすHilbert空間とし、Fourier級数を用いてH^n_+ \oplus H^n_=に分解する。 LGL_n(C)を連続関数\gamma:S^1 \to GL_…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf scaling \lambda \in S^1に対し、R_\lambda(f)(z)=f(\lambda^{-1}z)でHに作用を定める。 これはunbounded operatorである。 |\lambda| \leq 1のとき、Grに作用し、これらをscaling transformations…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf Grにstratificationを定める。 S \subset Zに対し閉部分空間H_S \subset Hを{z^s}_{s \in S}で張られる空間とする。 H_S \in Grとなるのは、S\NとN\Sが有限である場合。 このような集合のvirtual ca…

KdV equation

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf HをL^2(S^1)とする。 座標をzとし、H_+とH_-をそれぞれzの正の整数乗z^kおよび負の整数乗z^kがはる空間とする。 この分解に対応するGrassmannianをGrとかく。 \GammaをS^1 \to C^\timesのなす群とし…

KdV equation

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf Hilbert空間のGrassmannianとloop groupの関係。 Hを複素Hilbert空間とし、無限次元閉空間による直交分解H = H_+ \oplus H_-が与えられているとする。 Gr(H)をHの閉部分空間Wであって - 射影W \to H…

KdV eq

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf Wに対して有理型関数u_Wはtau関数と呼ばれるものを用いて、u_W=2(d_x)^2\log \tau_W(x)と書くことができる。 \tau_Wは直交射影e^{-xz}W \to H_+の行列式である。 Wが特定の部分空間の場合、\tau関数…

Loop group

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf ある関数空間C^{(2)}上のKdV flowを記述する。 一つはU2のloop space \OmegaU2を用いて、もう一つはH=L^2(S^1)のclosed subsp Wであってz^2W \subset W, WはH_+とcomparableであるもののなすのGrass…

Loop group

http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf Segal-WilsonのLoop groups and equations of KdV type KdV方程式の解をある無限次元Grassmannianの各点に対応させる。 KdV方程式は変数t, xを持つ非線形の偏微分方程式で、u_t = u_xxx + 6uu_xとい…

Hochshild cohomology

Hochshild cohomology

Hochshild cohomology

Hochshild cohomology

Hochshild cohomology

Hochshild cohomology