http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf A_\infty-algとはgraded vector sp A = \oplus_i A_iとm_n:A^{\otimes n} \to Aであって、 deg(m_n) = 2-nであり、 \sum_{r+s+t=n}(-1)^{r+st}m_{r+1+t}(1^{\otimes r} \otimes m_s \o…

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf \Omega^n_{nc}A=A \otimes (A/k)^{\otimes n}と定義する。 特に\Omega^1_{nc}AはA \otimes A \to Aの核と同一視できる。 普遍性はA-bimod Mに対してDer(A,M) = Hom_{A^e}(\Omega^1_{nc…

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf PをAのA^e-modとしてのprojective resolutionとする。g \in Hom_{A^e}(P_n,A)をcocycleとし、projectiveであることを用いてこれをchain map g:P \to Pに伸ばす。

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf Hom_{A^e}(A^{\otimes n+2},M)とHom_k(A^{\otimes n},M)を同一視する。 cup productをf\in Hom_k(A^{\otimes m},A)とg \in Hom_k(A^{\otimes n}, A)に対して(f \cup g)(a_1\otimes \cd…

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf HH^0, HH^1の解釈。 HH^0(A,M) = {m \in M | am = ma for all a in A} HH^1(A,M) = Der(A,M) / InnDer(A,M) HH^n(A)にはAの中心Z(A)が作用する。

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf kが体の場合、HH_n(A,M) = Tor_n^{A^e}(M,A)であり、HH^n(A,M) = Txt^n_{A^e}(A,M)である。 例の計算。 A=k[x]の場合、i=0,1でHH^i(A) = Aであり、i>1でHH^i(A)=0である。 A=k[x]/x^n…

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf A ^{\otimes n+2}とA^e \otimes A^{\otimes n}が最初と最後を前二つにまとめることで同型になる。 これを用いて、A-bimod Mに対してM \otimes_{A^e} B(A)とM \otimes A^{\otimes n}の…

http://www.math.tamu.edu/~sarah.witherspoon/pub/HH-18August2017.pdf kを可換環としAをk-代数とする。 A^e = A \otimes A^{op}と定め、これをAのenveloping algebraという。 MがA-bimoduleとは、Aの両側作用が定まっているものを言い、これは左A^e-module…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf ベクトル束E \to Bに対してT(E)=D(E)/S(E)をThom spaceという。 Lmma 4.8 C_Jfはf:S^{2k-1} \to U(n)を変換関数とするベクトル束E_f \to S^{2k}のThom spaceである。

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf double suspension S^2S^{2m} \to S^{2m+2}により誘導される \pi_{2n-1}(S^{2m}) \to \pi_{2n+1}(S^{2m+2})はeと交換する。 なぜなら、C_{s^2f} = S^2C_fであり、chとS^2が交換することから。 したがってst…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf 昨日定義したeが準同型であることをみる。

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf e:\pi_{2m-1}(S^{2n}) \to Q/Zを定義する。 f:S^{2m-1} \to S^{2n}に対し、S^{2m} \to C_f \to C_f/S^{2m}=S^{2n}が誘導する単完全列の射\tilde{K} \to \tilde{H}がChern characterから定まる。 A, B \in \…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Chern characterは\tilde{K} \to \tilde{H}を定める。 これを用いてK^1(X) \to H^{odd}(X;Q)を\tilde{K}^0(SX) \to \tilde{H}^{even}(SX;Q)で定める。 すると、Xがfinite cell complexなら、K^*(X) \otimes…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf \pi_i(O(n))と\pi_{n+i}(S^n)がn>i+1で一定であることから、stable J-homomorphism J:\pi_i(O) \to \pi_i^Sが定義される。 次にK-theoryを使ってe:\pi^S_i \to Q/Zを定義する。 Chern characterを直線束L \…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf J:\pi_i(O(n)) \to \pi_{n+i}(S^n)を定義する。 f \in \pi_i(O(n))とx \in S^iに対しf_x \in O(n)はS^nのisometryを与え、x = * の時、f_x=idである。 S^{n+i}をD^{i+1} \times D^nの境界として、S^i \time…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf Thom類の存在。 Mayer-Vietoris系列 H^n(E,E') \to H^n(E_U,E'_U) \oplus H^n(E_V, E',V) \to H^n(E_{U \cap V}, E'_{U \cap V}) を考える。 U \cap Vが(k-1)-sphereの和のdeformation retractなので、帰納法…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf Thom類の存在。Theorem 4D.10 まずBが連結CW複体で、D^n \to E \to Bが向き付け可能な時、 H^i(E,E';Z) \to H^i(D^n_x,S^{n-1_x};Z)が全てのx \in Bでのファイバーについて同型であることを示す。 Bがk次元と…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf Thom類について見ていく。 Corollary 4D.9 (D^n, S^{n-1}) \to (E, E') \to BがThom類 c \in H^n(E,E';R)を持つとする。 この時、H^i(B;R) \to H^{i+n}(E,E';R)をb \mapsto p^*(b) \cup cとすると、これは同…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Euler類 ベクトル束E \to BのEuler類e(E)とはThom類c \in H^n(D(E), S(E); Z)のH^n(D(E),S(E)) \to H^n(D(E)) \to H^n(B)への像。 ここで二つ目の射は0切断での引き戻し。 ここでThom類 c \in H^n(D(E),S(E…

http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf f:RP^\infty \to G_nを (E_1)^nから定まる射とする。 f^*の像はZ/2[a_1,\ldots,a_n] = H^*((RP^\infty)^n;Z/2)の対称多項式と一致する。 実際、\pi : (RP^\infty)^n \to (RP^\infty)^nを適当な置換とすると…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Grassmann多様体のコホモロジーと特性類の関係。 Theorem 3.9 H^*(G_n;Z/2)はuniversal bundle E_n \to G_nのSW class w_1, \ldots, w_nで生成される多項式環。 H^*(G_n(C^\infty);Z)はE_nのChern class…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf G(4,2)を考える。これのセル分解をSchubert symbolを用いて構成する。 Schubert symbolの候補は(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)の6通り。 R^4の部分空間で、上で与えたSchubert symbolを持つ部…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Gr(k,n)をR^kのn次元部分空間のなすGrassmann多様体とする。 Aをrank nのn \times k行列とし、階段型に行基本変形して段が変わる列の番号をAのSchubert symbolと呼ぶ。 Aの行ベクトルが生成するR^kのn次…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Leray-Hirschを使ってSW class及びChern classの存在を証明する。 LH thm p:E \to Bに対しH^*(E;R)はH^*(B;R)-mod構造をab = p^*(a) \cup bにより定めると、 F \to EがH^*(-;R)の全射を誘導し、H^n(F;R)…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Stiefel-Whitney class Theorem 3.1 実ベクトル束E \to Bに対してw_i(E) \in H^i(B, Z/2)で、 - 引き戻しに対して自然 - w(E \oplus E') = w(E) \cup w(E') - w_i(E) = 0 for i > dim E - E \to RP^\inft…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf splitting principleの証明。 K(P(E))が1, L, \cdots, L^{n-1}を基底とする自由K(X)加群であるから、 p^*:K(X) \to K(P(E))は単射である。（x \mapsto x1となる） p^*E \to P(E)はLを部分束として持つの…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf example 2.26 E \to XをC^n-ベクトル束でXはコンパクトとする。 p:P(E) \to XはCP^n-fiber bundleで、L \to P(E)はcanonical bundleとする。 1, L, \cdots, L^{n-1} \in K(P(E))はK(CP^{n-1})の基底とな…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf B' \subset Bに対しE' = E \vert_{B'}とする。 \Phi: K^*(B) \otimes K^*(F) \to K^*(E)を\Phi(b \otimes i^*c) = (p^*b)cで定める。 ここでi^*:K(E) \to K(F)は制限でこれは全射？ この\Phiが(K(B,B') \…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Leray-Hirshの定理を示す。 thm 2.25 p:E \to Bをコンパクトハウスドルフ空間の間のFをファイバーとするファイバー束とする。 またK^*(F)が自由で、c_1,\ldots,c_k\in K^*(E)が各ファイバーでK^*(F)の基…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf K(CP^n) = Z[L]/(L-1)^{n+1}である。 0 \to K(CP^n,CP^{n-1}) \to K(CP^n) \to K(CP^{n-1}) \to 0 が完全であることから、帰納的に示す。 K(CP^n,CP^{n-1})=\tilde{K}(S^{2n})であり、 \tilde{K}(S^2) \o…