\infty-catをやる前に普通の圏の話。
monoidal catとは圏 Cと関手\otimes:C \times C \to Cおよび特別な対象1 \in C、さらにこれらが満たすべき性質を自然変換として持っているもの。例えば1 \otimes xとxが同型になってほしいが、これを関手Id:C \to Cとx\mapsto(1\otimes x):C \to Cの間の自然変換として定義しておく。
例えば体k上のベクトル空間のなす圏Vect/kに普通のテンソル積\otimesと1=kとしたもの。この場合、条件で必要な同型はテンソル積の普遍性から一意的に定まる。
monoidal category C のmonoidとは対象Mと射\mu:M \otimes M \to Mと\eta:1 \to Mでmonoidっぽい条件を満たすもの。群スキームの定義を思い出せばよい。射の条件はいくつかの図式の可換性として与えられるが、あとあと気をつけないといけないかもしれない。monoidの射はCの射で適切な可換図式を満たすもの。
monoid in a monoidal category in nLab
commutative monoid in a symmetric monoidal category in nLab
例えばC=Vect/kでやるとCのmonoid Mはk-algのこと。\muはM上の双線形写像を与えるのでこれを積とし、\etaをk-algの構造射とする。
Cをabel群の圏として\otimesをZ上のテンソル積とすると、C上のmonoidは単位的な環。
spectrumの例があるので、次はこれを理解する。
