spectrumについて基本的なことからやっていく。これがわかりやすいので読んでる。
https://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands/spectra/iss1.pdf
一般に終対象 * を持つ圏Cに対し、*/Cを点付き対象の圏と呼ぶ。
simplicial setの圏をSとかき、*/Sを点付きssetの圏とする。
*/Sのsmash product x \wedge yをx \times y/(x \times * \coprod * \times y)で定める。
これは一般のmonoidal cat (C, \times)でlimとcolimを持てば定義できる。
*/Sのinternal homを
hom(x,y)_n=*/S(\Delta[n]_+ \wegde x, y)
として定義する。これはinternal homの条件からこのように定義することが必要であり、また十分。
このhom(x,y)が*/Sのinternal homとなるように*/Sに積\wedgeを定義したものがsmash productである。つまり*/S(x \wedge y,z)=*/S(x,hom(y,z))である。
これらにより、*/Sはclosed symmetric monoidal catになる。
一般にinternal homがいつもあるのか？presheafの圏であれば一般論からlimとcolimと\wedgeが適切な条件をみたせば従うと書いてある。
x,y \in */CとしてCのinternal homをhom(x,y)とかき、これに定値写像により*/Cの対象とみなす。とかくとhom(x,y)が「射の集合」のようになってないと定義できないように見えるが、一般にはC(*,hom(x,y))=C(* \otimes x, y)で右辺の元で* \to yをfactorするものがただ一つ定まるから、これにすればよいきがするけどそうでもない？C=Sの場合にこのようになっているか？
この辺になんか書いてありそう。
引き続き上のpdfを読んでいく。
