ptd objの圏はmaybe monad上の代数のなすEM catであり、このことからmonoidal strが定まるがこれがsmash prodらしい。
とりあえずbicategoryは射が圏ぐらいの認識で始める。
まずbicategory Kのmonadとはmonoidal cat (K(a,a), composition)のmonoidのこと。つまり(a,t,\eta, \mu)でa \in obK, t:a \to a, \eta:1_a \to t, \mu:tt \to tでmonoidみたいな可換図式を満たすもの。
例えばK=Catに対しKのmaybe monad (a, t, \eta, \mu)とは終対象*を持つ圏aとaの自己関手t:x \mapsto x \coprod *と\coprodの定義射x \to x \coprod *で定まる自然変換\eta:id_a \to tおよび(id_{x \coprod *}, copr \citc id_*)からの普遍射(x \coprod *) \coprod * \to x \coprod *で定まる自然変換\mu:tt \to tの三つ組。
monoidal catのmonoidがあれば、それ上のmoduleが考えられる。これは前にmonoidの例として環になるものをあげたが、それから類推できる。つまりmonoidal cat (C, \times)とそのmonoid mに対し、m上のmodule xとはCのob xと作用\mu:x \times m \to xで作用っぽい可換図式をみたすもの。
ということでmaybe monadのmoduleを考えるわけだが、これだとややおかしいことになるきがする。これだとmoduleはK(a,a)のobj x と作用a:tx \to xの組ということになってしまうが、これはaのptd objとは違ったものが対応してしまう。K(*,a)のobjを考えればこれがaのobjと対応し、うまくmaybe monadのmoduleとptd setが対応する。
どうもbicatのmonadのmoduleとはK(b,a)の対象への作用で、t-algebraをK(*,a)の対象への作用のことと定めるらしい。
このようにmonad tのalgebraの圏をEM-catという 。
Eilenberg-Moore category in nLab
引き続きEM-catについてやっていく。
