Lurieの
[math/0702299] Derived Algebraic Geometry II: Noncommutative Algebra
によると、monoidal catには同値な別の定義があって、そちらは\infty-catへの一般化に使うらしいので、その定義を見ていく。
\Deltaを対象を各整数n>-2に対して線形順序集合[n]全体とし、射を順序射からなる圏とする。
関手p:C \to \Delta^{op}で次の二条件を満たすものをmonoidal catという。
まずC_nをpによる[n]のfiberとする。
1. pはop-fibration。すなわち、x \in C_nと射f: [n] \to [m] \in \Delta^{op}にたいし、
p(F)=fである射F:x \to yでy \in C_mなるものが存在し、任意の z \in C_kに対して次の全単射を導く。
Hom_D (y,z) \to Hom_D(x,z) \times_{Map_\Delta([k], [n])} Map_\Delta([k],[m])
2. [1] \to {i-1, i} \subset [n]が誘導する射によりC_nはC_1のn個直積と同型。
この条件により、[1] \to [0]が単位的対象、[1] \to {0,2} \subset [2]が積を定める。
続きはまた明日。