spectrumの定義を見る。
k>-2に対し[k]を全順序集合\{0,\ldots,k\}とする。[-1]=\emptysetである。
これら全体を対象とし、射は順序射にもつ圏を\Deltaとかき、\Delta上の前層をsimplicial setという。つまり関手\Delta^{op} \to Setのことを前層という。
\Delta[k]を[k]が表現するsimplicial setとし、
二つの射[0] \to [1]が誘導する前層の射\Delta[1] \to \Delta[0]のcoequalizerをS^1と定義する。これの幾何的実現は円周になる。
simplicial setの圏は\Delta[0]が終対象、積や商をもつ。
これを用いて以前書いたようにしてpointed simplicial set及びptd ssetの間のsmash product \wedgeが定義できる。
spectrumとは、
- 非負整数kで添え字づけられたpointe simplicial set \{E_k\}_k
- 非負整数kで添え字づけられたptd ssetの射 \sigma:S^1 \wedge E_k \to E_{k+1}
のこと。
この後はspectrumの例、またsymmetric spectrumの定義について見ていく。