Xを位相空間とし、V \to Xを主O(n)束P \to Xの随伴ベクトル束とする。これはXの実ベクトル束で各ファイバーに連続に内積が定まっているもので、これに関する正規直交枠束がP \to Xである。
D(V)を長さ1以下のベクトル全体のなすD^n-bundle、S(V)を長さ1のベクトル全体のなすS^{n-1}-bundleとする。
VのThom space Th(V) \to Xとは* \gets S(V) \to D(V)のpushoutのことをいう。
これは*からの射を用いて点付き空間の構造を入れることができる。
Vが0次元ベクトル束つまりV=X \to Xの場合、D(V) = XでS(V) = \emptysetなのでTh(V) = X \coprod *となる。
またVが自明束\R^n \times Xの場合、Th(V)はS^n \wedge (X \coprod *)となる。
（X=S^1ならトーラスの内側の穴を一点でくっつける感じ。この点が点付き構造を与える。）
より一般に、Th(\R \oplus V) \cong S^1 \wedge Th(V)である。
これは次のように考えればよい。
D(\R \oplus V)はD(V)上の自明束 I \times D(V)とみなすことができる。
ここでv \in D(V)のファイバーはvの長さがrであれば長さ\sqrt{1-r^2}以下の元からなる。
これを[-1,1]に伸ばして([-1,1]/{-1,1}) \wedge (D(V)/S(V))= S^1 \wedge Th(V)への写像を作ると、wedgeを取っていることからTh(\R \oplus V)をfactorする。
同様にして逆写像も構成でき、上の同相を与える。
これについてさらに調べていく。
