コンパクトなn次元多様体Mをユークリッド空間R^{n+k}に埋め込み、その法束をN \to Mとする。
このThom空間Th(N)にはS^{n+k}からの写像が次のように定まる。
S^{n+k}を\R^{n+k}の無限遠点を付け加えることによる一点コンパクト化とみなす。
Mの\R^{n+k}への埋め込みにより法束の長さ1以下の部分もR^{n+k}に埋め込む。
Th(N)をNの長さ1以上のベクトルを潰したものとみなすことで、\R^{n+k} \to Th(N)が定まり、これが一点コンパクト化S^{n+k} \to Th(N)に伸びる。
主O(k)束の分類空間上の普遍束EO(k) \to BO(k)の随伴ベクトル束に対するThom空間をTh(EO(k))と書くことにする。
Mの\R^{n+k}への埋め込みの法束N \to Mに対応する射M \to BO(k)からTh(N) \to Th(EO(k))が定まり、前半の構成からS^{n+k} \to Th(EO(k))が定まる。
これを用いてcobordismとThom spectrum MOを関係付けることができる。
続きはまた改めて。
Pontrjagin-Thom collapse map in nLab
http://math.mit.edu/~haugseng/talks/cobordism_slides.pdf
http://www.math.northwestern.edu/~spoho/pdf/Thom_1954.pdf
などにも書かれている。
