epsilon

落書き

Thom spectrum

EO(n) \to BO(n)を普遍主O(n)束とし、EO(n) \times_{O(n)} \R^n \to BO(n)を随伴ベクトル束とする。

普遍性からBO(n) \to BO(n+1)上の射(EO(n) \times_{O(n)} \R^n) \oplus \R \to (EO(n+1) \times_{O(n+1)} \R^{n+1})が定まる。

これのThom spaceを取れば\sigma_n:S^1 \wedge Th(EO(n) \times_{O(n)} \R^n) \to Th(EO(n+1) \times_{O(n+1)} \R^{n+1})が定まり、これによりspectrumの構造を定めることができる。

 

MO(n)=Th(EO(n) \times_{O(n)} \R^n)とし、このように定義されたspectrum MO=(MO(n),\sigma_n)をThom spectrumという。

 

ベクトル束の外部テンソル積によりMOに環構造が定まり、

昨日定義した射によりMOのホモトピーコボルディズム環と同型になることが証明できる。

 

Thom spectrum in nLab