symm. spectrumの圏Sp^\SigmaにはHomにssetの構造を入れることができる。
さらにptd ssetの圏S_*のmonoidal圏としての作用が定まる。
まずE, Fがsym. spec.の時、Hom(E,F)_n = Sp^\Sigma(E\wedge \Delta[n]_+, F)とすることでsimplicial setの構造が定まる。射の対応は\Deltaを通して定まる。
Eをsymm spec, Kをptd ssetとすると、(E \wedge K)_n = E_n \wedge Kとし、\Sigma_nの作用はE_nを通して定めることで、symmetric spectrumとなる。
まずptd ssetのexponentialについて。
X, Yをptd ssetとした時、ptd sset X^Yを任意のptd sset Zに対しS_*(Z, X^Y) = S_*(Z \wedge Y, X)が成立するものとする。
そのようなものが存在することは、(X^Y)_n = S_*(\Delta[n]_*, X^Y) = S_*(\Delta[n]_* \wedge Y, X)と定めてやればよい。
これらが然るべき性質を満たすことを確かめるのはちょうどいい圏論の練習問題になりそうなので、明日以降やっていく。
simplicially enriched category in nLab
simplicial model category in nLab
HSSの1.3
