しばらく[HSS]を読む。
S_*でpointed simplicial set (ptd sset)の圏を表す。
以前に書いたように、これはptd set上の前層の圏と思っても、ssetの終対象 * からの射とssetの組と思ってもよい。
S_*はsmall limitとsmall colimitをもつ。
これはSが前層の圏であるからsmall limitとsmall colimitをもち、このことから昨日と同様の議論で証明できる。
Prop 1.2.10. symmetric spectraの圏はsmall limitとsmall colimitを持つ
diagram I \to Sp^\Sigmaをとる。
i \in Iと自然数nについて、普遍性から(lim (X_i)_n) \wedge S^1 \to lim((X_i)_n \wedge S^1)が定まる。colimでも同様。
これを用いると、spectraのlim X_i, colim X_iが定まる。
\Sigma_nの作用は各X_iへの作用から上と同様にlim/colimに作用が誘導され、これによりsymmetric spectraのlim/colimが定まる。
[HSS]:Mark Hovey, Brooke Shipley, and Jeff Smith, Symmetric spectra
