commutative k-alg AとA-mod M, NについてN \otimes_A Mとcoeq(N \otimes_k A \otimes_k M \to N \otimes_k M)は同型になる。
ここでcoeq(N \otimes_k A \otimes_k M \to N \otimes_k M)は(x, a, y) \mapsto (ax, y)と(x, a, y) \mapsto (x, ay)のcoequalizerをk-modの圏でとる。
実際にN \otimes_k M \to N \otimes_A Mを(x,y) \to (x,y)から定めると、これはcoeqを経由する。
さらにf:coeq \to Xに対してN \times Mからの射をf(x,y)=f(x \otimes y)とすればこれはcoeqの定義からA-bilinearになるので、普遍性から同型。
Gを群とし、K, LをG-pointed simplicial setとする。
これに対しK \wedge_G LをK \wedge LのG作用g:(k,l) \mapsto (kg^{-1}, gl)による商と定義する。
特にH \subset Gを部分群でKをH-pointed simplicial setとすると、G_+ \wedge_H Kを定義することができる。
これは上の係数拡大と同じような定義になっている。
simplicial setではなく、vector spaceでやると、Hの表現\rhoに対し k[G] \otimes_{k[H]} \rhoは誘導表現である。
