圏\Sigmaを対象が非負整数nに対する集合\{1,2,\ldots,n\}全体で、射が\Sigma(n,n)は対称群\Sigma_nでn \neq mに対しては空集合とする。
symmetric sequenceとは関手\Sigma \to S_*のこと。
つまり各nごとにsimplicial pointed set X_nとそこへの\Sigma_n作用が定まっているもの。
symmetric sequenceのなす圏をS_*^\Sigmaとかく。
昨日定めたG-simplicial setの\wedge_Gを用いてS_*^\Sigmaにmonoidal structureを定める。
つまりsymmetric sequence X, Yに対してsymm. seq. X \otimes Yをn成分が
(X \otimes Y)_n = \bigvee_{p+q=n} (\Sigma_n)_+ \wedge_{\Sigma_p \times \Sigma_q} (X_p \wedge Y_q)
として定義する。
Lemma 2.1.6.
この\otimesはS_*^\Sigmaのsymmetric monoidal productになる。
pointed simplicial setにおいて、定義から* \wedge X = *となり* \vee X = Xとなる。このことからunit objectは1=(S^0=\Delta[0]_+, *, *,\ldots)とすればよいことがわかる。
続きは後で。
