ここに書いたmonoidal categoryの定義について、改めてみていく。
圏Dから\Delta^{op}への関手を考える。これが適当な条件を満たすとき、普通の意味でのmonoidal categoryを定めることができる。
例えばDの対象をvector spaceのn個組たちとする。
また射[V_1,V_2,\ldots,V_n] \to [W]は、順序射f:[1] \to [n]と多重線形写像V_{f(0)+1} \times \cdots \times V_{f(1)} \to Wの対とする。
これはテンソル積の普遍性を念頭に置いた定義になっている。
行き先が複数個の組[W_1,\ldots,W_m]である場合には、順序射f:[m] \to [n]と各1 \leq i \leq mに対する多重線形写像V_{f(i-1)+1} \times \cdots \times V_{f(i)} \to W_iの組を射にすればよさそう。
関手p:D \to \Delta^{op}は[V_1,\ldots,V_n] \mapsto [n]とする。
このpでの[n]のファイバーをD_nと書くことにする。
さらにこのpがop-fibrationであることを仮定する。
op-fibrationとは順序射f:[n] \to [m]（つまり\Delta^{op}としては射[m] \to [n]）とDの対象X \in D_mに対しY \in D_nとDの射\bat{f}:X \to Yが存在して、次の普遍性を満たす。
任意のZ \in D_kに対し、\bar{f}が全単射
Hom_D(X, Z) \to Hom(Y, Z) \times_{Map([k],[n])} Map([k],[m])
を定める。
また仮定としてD_nが(D_1)^nと圏同値であることも仮定する。
D_1とCおよびD_2とC \times Cが圏同値であり、順序射f:[1] \to [2]を0 \mapsto 0, 1 \mapsto 2と定めると、op-fibrationであるからD_2 \to D_1が決まり、これを\otimesと定めることができる。
明日はまたこの続き。
