bicategoryの例としてsmall categoryのなす圏Catがある。
実際にはこれはstrict 2-categoryになっている。
- 0-cellはsmall categoryたち
- 1-cellはsmall cat x, yの関手の圏で対象は関手x \to yであり、2-cellは自然変換
- 恒等射は恒等関手id_x
- horizontal compositionは次のように定まる。
小圏x, y, zに対し、関手B(x,y) \times B(y,z) \to B(x,y)を定める。
まず対象の対応は関手f:x \to yとg:y \to zの合成gf:z \to xで定める。
次に射の対応は自然変換F:f_1 \to f_2とG:g_1 \to g_2について自然変換g_1f_1 \to g_2f_2を定めればよい。
これはxの対象aについてzでの射g_1f_1(a) \to g_2f_2(a)を適切な可換性を持つよう定める必要がある。yでの射F(a):f_1(a) \to f_2(a)に関手g_2を作用させることでg_2(F(a)):g_2f_
1(a) \to g_2f_2(a)が定まり、またyの対象f_1(a)に自然変換GからG(f_1(a)):g_1f_1(a) \to g_2f_1(a)が定まるので、これの合成とする。
これをGodement productと呼ぶらしい。
- unitorは関手const_{1_y} \circ id_{B(x,y)}:B(x,y) \to B(x,y)が射fを1_yfに写し、これは圏の定義からfに一致するので、id_{(B(x,y)}と一致する。つまり恒等写像により自然同値が定まる。
- associatorも同様に圏の定義から恒等写像で自然同値が定まる。
明日はpseudofunctorについて。
