bicategory C, Dの間のpseudofunctor Pとは
- 0-cellの対応x \mapsto P_x
- 関手P_{x,y}:C(x,y) to D(P_x, P_y)
- 0-cell xに対して可逆な2-cell P_{1_x}:id_{P_x} \to P_{x,x}(1_x)
- 0-cell x, y, zに対してf:x \to yとg:y \to zについて自然に定まる同型P_{x,y,z}(f,g):P_{x,y}(f);P_{y,z}(g) \to P_{x,z}(f;g)
であって、unitorとassociatorに関する整合性を満たすもの。
三つめについて。
0-cell xが与えられると、bicategoryの定義からC(x,x)の1-cell 1_xが定まっている。
これをP_{x,x}でうつしたD(P_x,P_x)の1-cell P_{x,x}(1_x)およびもともとDのbicategory構造として定まる1_{P_x}はいずれも圏D(P_x,P_x)の対象であり。
これらの間の射として可逆なものP_{1_x}が定まっているということ。
四つめについて。
1-cell f \in C(x,y)とg \in C(y,z)が与えられると、関手P_{x,y}:C(x,y) \to D(P_x,P_y)およびP_{y,z}:C(y,z) \to D(P_y,P_z)によりP_{x,y}(f) \in D(P_x,P_y)およびP_{y,z}(g) \in D(P_y,P_z)が定まる。
Dのbicategory構造からP_{y,z}(g) \circ P_{x,y}(f) \in D(P_x,P_z)が定まる。
またCのbicategory構造から1-cell g \circ f \in C(x,z)が定まる。
これを関手P_{x,z}:C(x,z) \to D(P_x,P_z)でうつしたP_{x,z}(g \circ f)が定まる。
こうして得られる二つの1-cell P_{y,z}(g) \circ P_{x,y}(f), P_{x,z}(g \circ f) \in D(P_x,P_z)の間に可逆な2-cellが自然に定まっているということ。
