epsilon

落書き

2-limit

昨日の2-pullbackの計算は、2-limitについて理解してから改めて考える。

 

というわけで、

2-limit in nLab

 

ひとまず例を見てみると、Kを2-categoryとし、A, BをKのobjectとする。

この時Kの対象A \times Bと自然同値K(X, A \times B) \to K(X, A) \times K(X, B)のことをA, Bの積と定める。

 

普通の圏だと射の集合が同型だが、この場合は圏同値であることを条件にする。

これはまずX = A \times Bとすると、その行き先としてp:A \times B \to Aとq:A \times B \to Bが定まり、さらに任意のf:X \to Aとg:X \to Bに対してあるh:X \to A \times Bに対し同型ph \to fとqh \to gが定まる。

さらに、任意のh, k:X \to A \times Bと2-cell a:ph \to pk, b:qh \to qkに対して唯一c:h \to kが存在してpc = aとqc = bが成り立つ。

 

 

まず2-cell cに対してpcおよびqcとは何か、もう少しよく考える。

上の条件からpを合成するという関手が第一成分への射影と同型になる。

これの2-cellへの作用は、2-cell c:h \to kに対してpc:ph \to pkが定まるというものだが、これは2-categoryの定義に合成が関手的という条件があるので、そこから自動的に決まるもの。

qcも同様で、これが2-cellとしてa, bと一致するというのが条件。

圏同値ということから、射の対応は全単射になっているので、この条件が出てくる。

 

引き続き2-limitの他の例をもっと見ていく。