F:K \to Setのlimitは[K,Set](\Delta pt, F)である。
つまり、KからSetへの関手の圏[K,Set]における射、すなわち自然変換\Delta pt \to Fのなす集合がlim Fである。
自然変換\Phiに対し、各Kの対象kごとに\Phi(k):\Delta pt(k) \to F(k)が決まるから、\Phi \mapsto \Phi(k)(pt) \in F(k)として各F(k)への射が定まっていて、自然変換であることからconeになる。
さらにこれが普遍性を満たすことは、cone f_k:X \to F(k)があればx \in Xに対しf_k(x)たちを用いて自然変換\Delta pt \to Fを定めることができる。
これをF:K \to Cに一般化する。
CをC上の前層の圏に埋め込んで、関手C(-,F(-)):K \to [C^op, Set]を考える。
これの各点ごとのlimitを取ることで、lim C(-, F(-)) = [K.Set](\Delta pt, C(-, F(-)))となる。
これをさらに一般化したものを考えていく。
