CをV-catとする。
x, y \in Cに対し、Hom_V(1,C(x,y))を考えると、これは集合。
特にVをV-catと見る、つまりinternal hom x^yをV(x,y)とすることでV-catの構造を定めると、
上の操作で元のVの通常の圏としてのHom_V(x,y)は
Hom_V(1,V(x,y)) = Hom_V(1 \otimes x, y)
より復元できる。
V-functorのなすV-catを定義しよう。
その射はVの対象であり、その元つまり1からの射がV-natural transformである。
C, DをV-catとし、その間のV-関手のなすV-cat [C,D]を以下のように定義する。
関手C^op \otimes C \to Vを(c,c') \mapsto D(F(c),G(c'))で定義すると、
昨日end - epsilonの通りVの対象としてendが定義できる。
これを用いて[C,D](F,G) = \int_CD(F(c),G(c))とすれば良い。
これの元、つまりVの射1 \to [C,D](F,G)がFからGへのV-natural transformである。
これをendの定義に従って書き下すと、
Cの対象cごとに定まるe_c:1 \to D(Fc, Gc)たちで適当な整合性を持つもの。
V=Setに直積でmonoidal structureを入れた場合を考えよう。
1は一点集合である。
C, Dを圏としてF, Gを関手とする。
このとき\int_CD(F(c),G(c))は普遍wedgeである。
つまり、各cごとにe_c:w \to D(F(c),G(c))が定まっていて、整合性を満たす。
このとき集合wの元は各c \in Cごとに対してFc \to Gcを与えるが、endの整合性からこれは自然変換F \to Gを定める。
普遍性を満たすものが自然変換のなす集合。
これを用いて一般のV-catに値を持つ関手のendやweighted limit/colimitを定義していく。
