改めてV-natural transformについて。
C, DをV-catとしF, G:C \to DをV-functorとする。
二つのV-functorの間の自然変換を定めたい。
普通の圏における自然変換は、Cの対象cごとに射Fc \to Gcを定める。
V-catではD(Fc, Gc)が集合ではないので、その元を取ることができない。
そこで代わりにHom_V(1,D(Fc, Gc))の元\phi_cを取ることにする。
これらが普通の自然変換と同じような整合性を満たす必要がある。
普通の自然変換ではCの射f:c \to c'に対してFf, Gfと\phi_c, \phi_c'が整合的になるという条件を課す。
しかしV-functorはあくまでもVの射F_c,c':C(c,c') \to D(Fc, Fc')を定めるのみで、射fやFf, Gfといったものは存在しない。
一つの考え方は、fをHom_V(1,C(c,c'))の元として取り、FfをHom_V(1,D(Fc,fc'))の元として定める。
しかし普通の自然変換の条件を、以下の二つの射Hom_C(c,c') \to Hom_D(Fc, Gc')
- 関手Fが定めるHom_C(c,c') \to Hom_D(Fc, Fc')と\phi_c'との合成が定める射Hom_D(Fc, Fc') \to Hom_D(Fc, Gc')の合成
- 関手Gが定めるHom_C(c,c') \to Hom_D(Gc, Gc')と\phi_cとの合成が定める射Hom_D(Gc, Gc') \to Hom_D(Fc, Gc')の合成
が一致するという条件に書き換えると、V-natural transformも同様の定義が可能になる。
enriched natural transformation in nLab
ところでenriched categoryにおいて、対象の同型というものを考えるのか？
