epsilon

落書き

weighted limit 18

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf

 

weighted limitの定義。

 

D:A \to Mとbimodule J:A \otimes B^op \to Vに対し、DのJ-weighted limitとは、

V-functor lim^JD:B \to Mであって、m, bについて自然な同型 M(m,(lim^JDb) \to Hom_A(J(-,b),M(m,D-)) を持つもの。

 

特別な場合に、通常の圏における極限になることを確かめる。

 

例えば A= a \to b \ot c, V=Set, B=1とし、J:A \otimes B^op \to Setをすべての対象を終対象 * にうつす関手とする。

これに対し、まずは固定されたb, mについてHom_A(J(-,b),M(m,D-))を計算してみる。

Hom(*, Set(m, Dx)) \to\to Hom(*, Set(m, Dy))のequalizerを計算する必要があるが、このケースで実際に計算しなければならないのは、

Hom(*, Set(m, Da)) \times Hom(*, Set(m, Db)) \times Hom(*, Set(m, Dc)) \to\to Hom(*, Set(m, Db))

のequalizerで、実際にはDa \to DbとDc \to Dbを合成してSet(m, Db)に一致するものだけを取り出してきている。

そのような関手を表現するものが、通常の意味でのDのlimitになる。