epsilon

落書き

weighted limit 23

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf

 

enriched categoryでのKan extensionについて。

D:B \to Mのj:B \to Aに沿ったleft Kan extension Lan_jD:A \to Mは、自然変換の同型[A,M](Lan_jD, E) = [B,M](D, Ej)を満たすもの。

 

jを用いてA-B-bimod JをJ(a,b) = A(jb,a)により定める。

E:A \to MのJ-weighted limitは

M(m,lim^JEb) = [A,V](J(-,b),M(m,E-)) = [A,V](A(jb,-),M(m,E-)) = [A,V](A^op(-,jb),M(m,E-))を満たす。

ここでYonedaを、F=M(m,E-):A \to Vとx=jbに対して用いることで、

M(m,lim^JEb) = [A,V](A^op(-,jb),M(m,E-)) = M(m,Ejb)となる。

このことから[B,M]においてlim^JE = Ejであることがわかる。

weighted limit/colimitの随伴により、[B,M](D,Ej) = [B,M](D, lim^JE) = [A,M](colim^JD,E)となるので、colim^JD = Lan_jDであることがわかる。