epsilon

落書き

simplicial set 2

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf

 

limit/colimitを表現可能関手で書く。

F:I \to Cのlimit limFとは、Cの対象であって、Fiたちへの可換な射についての普遍性を持つもの。

これは次の関手を表現する対象とみなせる。

Cの対象xに対して、対角関手 \Delta x:I \to Cをすべてのiの行き先をxとし、射をid_xに対応させるものとする。

このようにして、x \mapsto \Delta xにより関手\Delta:C \to [I,C]が定まる。これにHom(-,F)を合成することで関手C \to Setがx \mapsto [I,C](\Delta x,F)により定まる。

これを表現するCの対象がlim Fである。

つまり、C(x, lim F)=[I,C](\Delta x, F)となる。

実際、[I,C](\Delta x, F)の元は、Iの対象iについてx \to Fiを整合的に定めたもので、そのようなものに対して唯一x \to lim Fが存在するというのがlimitの定義である。