http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf
まずはKan extensionについて復習。
関手T:M \to AとK:M \to Cに対し、TのKに沿った左Kan拡張とは、
- 関手Lan_KT:C \to A
- 自然変換\eta:T \to (Lan_KT)K
の組であって、関手U:C \to Aと自然変換\xi:T \to UKについて普遍的なもの。
この普遍性は、そのような(U,\xi)に対し自然変換\phi:\Lan_KT \to Uが一意的に存在し、(\phi)K \eta = \xiを満たすというもの。
任意のT:M \to Aについてそのようなものが存在すれば、これを随伴で書くことができる。
Lan_T:[M,C] \to [M,A]は[C,A](Lan_TK,U) = [M,A](T,UK)を満たす、つまりK^*:[C,A] \to [M,A]の左随伴になる。
これの双対として右Kan拡張Ran_KTも定義できる。
これはK_*の右随伴となるべきもので、(Ran_KT,\epsilon)は
- 関手Ran_KT:C \to A
- 自然変換(Ran_KT)K \to C
で普遍性を持つ。
上の双対でK^*の右随伴と書くことができ、Ran_T:[M,C] \to [M,A]は[M,A](UK,T) = [C,A](U,Ran_TK)を満たす。
