coendによるKan拡張の構成について。
関手K:M \to CとT:M \to Aに対し、Lan_KT:C \to Aをcに対してM^op \times M \to A (m,n) \mapsto C(Km,c)Tnのcoendを対応させる関手とする。
まずこれが関手であるかどうかについて。
Cの射f:c \to c'に対し、集合の射C(Km,c) \to C(Km,c')がfを合成することで定まる。
これからC(Km,c)Tn \to C(Km,c')Tnが添え字集合の射と各成分の恒等写像から定まる。
したがってcoendの普遍性からcoendの間の射も定まり、これが上の関手を定める。
これが左Kan拡張の普遍性を持つことを確かめる。
