K:M \to CとT:M \to Aに対し、昨日のcoendの構成を復習する。
まずC \to Setをc \mapsto C(Km,c)で作る。
さらに関手C(K-,c)T-M^op \times M \to Aを(m,n) \mapsto C(Km,c)Tnで定め、C \to [M^op\times M, A]をcに対し上の関手を対応させる関手とする。
この関手のcoendを対応させる関手を合成することでC \to Aが定まる。
これがLan_KTであった。
Lan_KTの普遍性を確かめるため、関手U:C \to Aと自然変換\xi:T \to UKに対し自然変換Lan_KT \to Uを構成する。
c \in Cに対して、UcがC(K-,c)T-のwedgeになることを確かめれば、coendの普遍性から射が定まる。
Mの対象mに対して、C(Km,c)Tm \to Ucをf:Km \to cを添え字にもつ成分の射Tm \to Ucを定めると直和の普遍性から射が定まる。
これはUf:UKm \to Ucと(\xi)m:Tm \to UKmの合成とすればよい。
