epsilon

落書き

geometric realization 3

もっと簡単な圏から。

 

C0={0}, C1={id0}とする。

この時NC0={0}, NC1={id0}, NC2={(id0,id0)},...となる。

NCnは全て一点集合で、単体集合の射は全て同型射である。

 

NCn \times \Delta nは全て標準単体一つで、NC0 \times \Delta n \to NCn \times \Delta nとNC0 \times \Delta0で1点と同一視される。

 

したがってNCのgeometric realizationは1点。

 

次にC0={0}, C1={id0, f}とする。f.f=id0またはf.f=fの2通りがある。これらのgeometric realizationを計算する。

 

まずf.f=id0の方から。

NC0={0}, NC1={id0, f}に対し、NC0 \times \Delta0とNC1 \times \Delta1の貼り合わせを考える。

これはNC0 \to NC1は0 \mapsto id0で定まり、これによりNC0 \times \Delta1 \to NC1 \times \Delta1とNC0 \times \Delta1 \to NC0 \times \Delta0を貼り合わせる。

これにより点vと線分e(id), e(f)の直和から、e(id)とvを同一視する。

NC1 \times \Delta0 \to NC1 \times \Delta1は線分のどちらの端点にうつすかで2つの射があり、それぞれが射のsourceとtargetを対応させる射NC1 \times \Delta0 \to NC0 \times \Delta0に対応するが、今の場合どちらも同じ。

これでe(f)の両端点をvに同一視することでS1と同相な空間ができる。

 

次にNC2 \times \Delta2の部分を見ていく。

, NC2={(id0,id0), (id0,f), (f,id0), (f,f)}