C0={0}, C1={id0, f}とし、f.f=id0とする。このgeometric realizationを計算する。
昨日は1-simplexまで計算して、id0は1点に潰れS^1と同相になった。
2-simplexの部分を計算する。
NC2={(id,id),(id,f),(f,id),(f,f)}で、NC0 \to NC2はid \mapsto (id,id)でNC1 \to NC2は[2] \to [1]を1 \mapsto 0または1 \mapsto 1の2通り考えた時、それぞれ
- id \mapsto (id, id), f \mapsto (id ,f)
- id \mapsto (id, id), f \mapsto (f, id)
を定める。
これを用いてNC0 \times \Delta2 \to NC2 \times \Delta2とNC0 \times \Delta0を貼り合わせると、(id,id)成分は1点に潰れる。
次にNC1 \times \Delta2 \to NC2 \times \Delta2とNC1 \times \Delta1を貼り合わせると、
(id,f)成分と(f,id)成分はいずれもf成分からきていて、これらはf成分の線分に潰れる。
次にNC2 \times \Delta0とNC2 \times \Delta1を用いて貼り合わせる。
生き残っているのは(f,f)成分の三角形のみ。これで各頂点がS^1の基点に移る。またNC2 \times \Delta1 \to NC2 \times \Delta2で像を01, 02, 12にする3つの射があり、これらはそれぞれNC2 \to NC1において
-p2: (id,id) \mapsto id, (id,f) \mapsto f, (f,id) \mapsto id, (f,f) \mapsto f
-\circ: (id,id) \mapsto id, (id,f) \mapsto f, (f,id) \mapsto f, (f,f) \mapsto id
-p1: (id,id) \mapsto id, (id,f) \mapsto id, (f,id) \mapsto f, (f,f) \mapsto f
に対応する。
(f,f)成分は3つ辺のうち一つがid成分の点に潰れて、残りがf成分の辺に移る。
ここまでまとめるとS^2の北極と南極をくっつけたものになる？
