まずはmodel圏の定義から。
圏Cのmodel strとは、Cの三つの部分圏と二つのfunctorial factorization (a,b), (c,d)で以下をみたすもの。それぞれweak equivalence, cofibration, fibrationと呼ばれる。
functorial factorization (a,b)とは関手a, b:MapC \to MapCで任意のfについてf=b(f)a(f)をみたすもの。
- f,gがCの射でgfが定義され、f, g, gfのいずれか二つがweなら残りもwe
- f,gがCの射でfがgの(MapCにおける)retractでgがweならfもwe
- fがtrivial cofibならfibに対するllpを持ち、trivial fibならcofibに対するllpを持つ。ここでfがtrivial cofibとはcofibかつweのこと。trivial fibはfibかつweのこと。i:A \to Bがp:X \to Yに対するllpを持つとは、任意のpf=giに対しあるh:B \to Yが存在してhi=f, ph=gなること。
- 任意のfについてa(f)がcofibでb(f)がtrivial fibであり、c(f)がtrivial fibでd(f)がfib
Cがmodel strを持ち、small limitとcolimitを持つときmodel categoryという。
Cのobがfibrantとはteminalへの射がfibであること、cofibrantとはinitialからの射がcofibなこと。
