https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
prop 1.1.8
model cat CからC*にmodel strを入れる。ここでC*はptd objの圏、つまり終対象からの射* \to xのなす圏。
まずsmall limitとcolimitを持つかどうかについて。
F \to C*に対し、忘却関手Uとの合成のlimitをとり、limの普遍性から定まる射で* \to limUFを定めると、これがC*におけるlimitになる。
colimitの方は、F:I \to C*に対し、J=I \cup {*}で*をinitial obになるように射を定め、F:J \to CをF* =*、F(* \to i)=* \to F(i)として定める。
これのcolimitをCでとり、* \to F(i)が誘導する射で* \to colimを定めると、これがC*でのcolimitになる。
次にwe, fib, cofibとfunc factはCのものから定める。つまりfがC*におけるwe, fib, cofibとは忘却関手でうつしてそうなるもの。
- 2-out-of-3は自明
- fがC*においてg*のretractであれば、Cにおいてもretract
- lifting propertyを確かめる。iがcofibでpがtriv fibであるとする。
iがpに対するllpを持てばよい。gi=pfに対してCではllpを持つので、hが存在してhi=f, ph=gとなる。
i* =*かつf*=*なのでh*=hi*=f*=*となりこのhがC*における射を定める。
もう一方についても同様。
- Cにおけるfunctorial factorization (a,b)を考える。この時C*の射fに対してa(f):x \to yから* \to yを定めることにすると、これはfについて関手的であり、a(f)はC*の射である。
さらに*=f*=b(f)a(f)*=b(f)*であるからb(f)もC*の射。
以上のことからC*もmodel categoryになることがわかる。
この辺の話は前にやった。
