https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
The retract argument (lemma 1.1.9)
f = piと分解しfがpに対してLLPを持つとする。このときfはiのレトラクト。
実際、id f = p iと見たときにあるhでhf = iとなる。(id, h)の組がレトラクトを与える。(id, p)が逆になる。
Ken Brown's lemma (lemma 1.1.12)
Cがmodel圏でDがweを持ち2-out-of-3を満たし、関手F:C \to Dがcofib obの間のtriv cofibをweにうつすとする。
このときFはcofib obのweをweにうつす。
f:x \to yがcofib obのweとする。(f,1y): x \coprod y \to yをcofib g:x \coprod y \to zとtriv fib h:z \to yに(f,1y)=hgと分解する。
0 \to xと0 \to yのpushoutを考えると、これは0 \to x \to 0とy \to y \coprod x \to yのretractionなので、yがcofib obなことから0 \to yがcofibでx \to x \coprod yもcofibである。同様にy \to x \coprod yもcofibであり、x \coprod yはcofib obである。
したがってgと合成することでzもcofib obであり、y \to x \coprod y \to z \to yと合成すると、これは恒等写像だからweでhがweだから2-out-of-3でy \to zはtriv cofibである。x \to zも同様。
これらはcofibの間のtriv cofibなのでFでweにうつる。
y \to x \coprod y \to z \to yを考えると、これはFでidにうつるのでweで、y \to zもFでweにうつるので2-out-of-3でz \to yはFでweにうつる。x \to z \to yはfで、これをFで写すとx \to zとz \to yがそれぞれweにうつるからF(f)もweである。
