https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
F:C \to Dをleft Quillen functorとする。
Fのtotal left derived functor LF:HoC \to HoDとはcofibrant replacement Q:C \to Ccが誘導するHoQ:HoC \to HoCcとFが誘導するHoCc \to HoDの合成のこと。
そもそもhomotopy categoryに関手が誘導されるのかについて。
F:C \to DがWを同型に移せばHoF:HoC \to Dが誘導される。
QについてはCのWがHoCcの同型にうつるのでHoQ:HoC \to HoCcが定まる。実際にはこれは圏同値になる。
次にFの方だが、Ken Brown's lemmaからcofib obの間のweをleft Quillenが保つことがわかり、このことからCc \to HoDはHoFを誘導する。
実際、KB lemはFがcofib obの間のtriv cofibをweにうつすなら、cofib obの間のweをweにうつすことを主張していて、今はFがleft Quillenだからtriv cofibはtriv cofibにうつるのでとくにweにうつる。
KB lemはcofib obの間の射についてしか使えないため、一度Ccにうつる必要がある。
