epsilon

落書き

stable category of modules 3

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf

 

RがFrobeniusのとき、pがtrivial fibrationであることとpが全射かつprojective kernelを持つことが同値であることを示す。

p:M \to Nが全射でker pがprojectiveであるとき、M/ker p \to Nは同型である。この逆をqとするときqp:M \to M/ker pと自然な射はその差がker pをfactorするのでstable equivalentである。

したがって

 

p:M \to Nが全射でP = ker pがprojectiveとする。

RがFrobeniusなのでPはinjectiveであり、id:P \to Pは単射P \to Mを経由する。

これをi:M \to Pとする。

g:N \to Mをx \in Nの適当な持ち上げyをとりg(x)=y-i(y)で定める。

これはy,y'をxの持ち上げとしたとき、y-y' \in Pであるから(y-y')=i(y-y')となるため、g(x)はyの取り方に寄らず定まる。