https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
proposition 2.1.16
Cは全てのsmall colimitをもち、IをCの射の集合とする。Iの元のdomainはsmall relative to I-cellでAはCの対象でsmall relative to I-cellとする。
このときAはsmall relative to I-cof
証明
I-cofの\lambda-seq Xに対し、colimとC(A,-)が交換することを示す。
XからI-cellの-lambda seq Yを構成し、これの可換性から上を示す。
Yは帰納的に次のように構成する。\betaまでできているとし、Y(\beta) \to X(\beta) \to X(\beta+1)のfunctorial factorizationをY(\beta) \to Y(\beta+1) \to X(\beta+1)とする。
これはby defでI-cellとI-injになり、X(\beta) \to X(\beta+1)がI-cofであり、Y(\beta+1) \to X(\beta+1)がI-injであることからlifting propertyによりX(\beta+1) \to Y(\beta+1)が定まる。
構成からX(\beta) \to Y(\beta) \to X(\beta)がidだからretractを定め、これによりYでのcolimとCの可換性からXでの可換性が従う。
