https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/hovey-model-cats.pdf
(F,U,\phi):C \to Dがmodel catの間のadjunctionでCがcofibrantly generatedでIがgenerating cofibでJがgenerating triv cofibとする。
このとき(F,U,\phi)がQuillenであることは、すべてのf \in IでFfがcofibかつすべてのf \in JでFfがtriv cofibであることと同値
Fがleft Quillenであるからby defでFはcofibおよびtriv cofibを保つので、(F,U,\phi)がQuillenであることが十分であることはわかる。
逆を示す。
まずF(I-cof) \subset FI-cofである。
これはf \in I-cofについてFfがFI-injについてLLPを持つことを言えばよい。
gがFI-injつまり任意のFIの元に対しRLPを持つとしたとき、UgはI-injになる。
実際、h \in Iとすると、gはFhについてRLPを持つから、UgがUFhに対するRLPを持ち、これがhに対するliftを与える。
したがって、fはUgについてLLPを持つ。このことからFfはgに対するLLPを持つことがわかる。
次にKをDのcofibのなすclassとすると、仮定からFI \subset Kとなり、FI-cof \subset K-cofである。
一方、K-cofはK-injに対してLLPを持つ射で、K-injはKに対するRLPを持つものであるが、Lemma 1.1.10からK-cof = Kであることがわかる。
したがって、F(I-cof) \subset Kであり、Fはcofibを保つことがわかる。
