http://www.numdam.org/article/PMIHES_1985__61__5_0.pdf
C^\times \to GL_1^ \to GL_1(H)^0は非自明なfiber bundleである。
つまり切断を持たず、また拡大は連続コサイクルで記述できない。
GL_1^reg \subset GL_1(H)^0をaが可逆な元のなす部分群とすると、E \to GL_1(H)^0のGL_1^regへの制限はs(g) = (g,a)により切断が定まる。
これに対応するコサイクルは(g_1,g_2) \mapsto det(a_1a_2a_3^{-1})である。
ここでa_3はg_3=g_1g_2の++成分。
さらに上三角部分群GL_1^+に制限すると、sは群の埋め込みGL_1^+ \to Eになり、これをDetの自己同型のなす群とみなせる。
下三角部分群GL_1^-も同様で、\Gamma_+, \Gamma_-をS^1 \to C^\timesのなす群とすると、これらはGL_1^{+-}の部分群であり、Detに作用する。
