epsilon

落書き

The Geometry of Iterated Loop Spaces

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf

 

Uをcompactly generated Hausdorff spaceの圏とする。

SUの対象Xのgeometric realizationとはX_q \times \Delta_qの直和の次の同値関係に夜商。

- (x,u) \in X_q \times \Delta_{q-1}の像(d_ix,u)と(x,d_iu)は同値

- (x,u) \in X_q \times \Delta_{q+1}の像(s_ix,u)と(x,s_iu)は同値

ここで、位相はX_i \tiems \Delta_iのi=qまでの商への像に商位相を入れ、それらの和により全体の位相を定める。

 

X \in SUに対しsX_q=\union_j s_jX_q \subset X_{q+1}とする。

Xがproperとは、すべての(X_{q+1}, sX_q)がstrong NDR-pairであること。

 

(X,A)がstrong NDR-pairとは、あるu:X \to [0,1]とホモトピーh:X \times [0,1] \to Xが存在し、

- A = u^{-1}(0)

- h(0,x) = x for all x \in X

- h(a,t) \in A for all a \in A

- u(x)<1 -> h(x,1) \in A

- u(x)<1 -> u(h(x,1)) < 1

https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/strong_ndr_pairs_a_technical_q.html