http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf
enriched categoryの文脈でR-modのテンソル積を一般化する。
V=Abをアーベル群のなすclosed symmetric monoidal categoryとする。
V(x,y)はHom_Ab(x,y)に普通の写像の加法としてabel群の構造を入れたものとしてV-enriched categoryとする。
monoidal structureはZ上の\otimesで、Hom(x \otimes y, z) = Hom(x, Hom(y,z))なのでclosedである。
unitはZである。
obが1点 * からなるV-enriched category Rを考える。
R(*, *)はabel群であり、abel群の射R(*, *) \otimes R(*, *) \to R(*, *)が定まっている。
これが環の積を与え、さらにZ \to R(*, *)が定まっていて、これが乗法単位元を与える。
積が結合的なのはenriched categoryの定義から。
次にこのRからV=AbへのV-functor F:R \to Abを考える。
まず対象の対応としてabel群F*を定める。
さらにabel群の射R(*, *) \to Ab(F*, F*)が定まっていて、この写像は単位的環準同型になっている。
つまりF*はright R-modということになる。
同様にR^op \to Abであればleft R-modになる。
次にF, F'がV-functor R \to Abで、これらの間のV-natural transformを考える。
これは\alpha:F* \to F'* \in Hom(F*, F'*) = Hom(1, V(F*, F'*))であって、関手の定める写像との整合性を持つもの。
つまりR(*, *) \to V(F*, F'*)としてF:R(*, *) \to V(F*, F*)と\alpha V(F*, F*) \to V(F*, F'*)の合成がF':R(*, *) \to V(F'*, F'*)と\alpha V(F'*, F'*) \to V(F*, F'*)の合成が一致する、つまりR(*,*)-modの射ということになる。
続きはまた明日。
