https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf * \in CWのHoSpectraでの像はまずCW*に写って* + *=S^0になり、 \Sigma^\inftyS^0 = Sとなる。 これらがlax monoidalであること、*がcommutatibe monoidであることを使うと、Sがcommutative monoid…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf 昨日のように、\otimesとIについての自然変換を持ち、unit, assoc, symmと交換する子関手をlax monoidalという。 忘却関手Ab \to Setはlax monoidalである。 台集合の直積からテンソル積の台集合に…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf exercise. (\Sigma X) \wedge Y = (\Sigma^\infty S^1) \wedge X \wegde Y = \Sigma(X \wedge Y) \OmegaF(X,Y) = F(\Sigma^\infty S^1, F(X,Y)) = F(\Sigma^\infty S^1 \wedge X, Y) =F(\Sigma X, Y…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf exercise. HoSpectraの自己関手\Sigmaと\Omegaを - \Sigma(X) = (\Sigma^\infty S^1) \wedge X - \Omega(X) = F(\Sigma^\infty S^1, X) と定義する。 このとき、これらは随伴になる。 実際、 [\Sigm…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf nが負の数なら[X,Y]n=[\Omega^nX,Y]と定める。 これにより負のnについて\pi_n(X)=[S,X]n=[\Omega^nS,X]と定めることができる。 Exercise. [Z,F(S,X)]=[Z \wedge S, X]=[Z,X]より、F(S,X), Xが表現す…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf 昨日の計算。 \Sigma^\infty:HoTop* \to HoSpectraと\Simga^n:HoSpectra \to HoSpectraが交換するか？ 3ページの図式によれば\Sigma\Sigma^\infty=\Sigma^\infty(\Gamma\Sigma)となる。 ここで\Gamm…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf HoSpectraは余積X \vee Yと積X \times Yを持ち、零対象 * を持つ。 これにより、HoSpectraは加法圏になる。 さらに[X,Y]を次数付きにすることができる。[X,Y]n=[\Sigma^nX, Y]とする。 shpere spect…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf stable homotopy categoryをHoSpectraと書くことにする。 suspension spectrumを定める関手HoTop_* \to HoSpectraが存在する。 loop spaceを定める関手\Omega:HoSpectra \to HoTop_*がこれの右随伴…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf stable homotopy categoryは次のような性質を持つ。 - 随伴\Sigma : T \to SHC : \Omegaを持つ - 三角圏でsuspensionが圏同値 - 加法圏、次数付き - 任意の積と余積を持つ - closed symm monoidal -…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf spectrumの例としては、 suspension spectra \SigmaXを(\SigmaX)_n=S^n \wedge Xで定める。 また特にsphere spectrum S^n=\SigmaS^nを定めることができる。 Eをspectraとし、そのホモトピー群\pi_n(…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf Brown representability Eを加法的コホモロジー理論とする。 この時、点付きCW cpxの列K_nとhtpy eq \sigma_n:K_n \to \OmegaK_{n+1} 及びu_n \in E^n(K_n)であって、u_nの引き戻しが定める射[X,K_n…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf AtiyahとHirzebruchによる位相的K理論。 Bott周期性\pi_n(BO) \cong \pi_{n+8}(BO)から\tilde{K}O(X) = [X, BO\times \Z]の周期性\tilde{K}O^n(X) \cong \tilde{K}O^{n+8}(X)が成立。 ベクトル束の…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf 一般コホモロジーとスペクトラム。 Thomによるコボルディズム。 コボルディズム類の集合N_nは安定ホモトピー\pi^s_nTOに同型。 ここでTO(q)はEO(q) \to BO(q)のThom空間。 またベクトル束の直和に対…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf CW複体とホモトピーを扱うためのよい圏を作る。 よい圏とは？ - 三角圏（ホモトピー、ホモロジーの長完全列） - 加法圏 - 対象モノイダル圏（スマッシュ積） など Boardman, Whitehead, Spanier, Ad…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf stable homotopy groupとは、 \pi_n^s(X) = \lim_N \pi_{n+N}(S^N \wedge X) のこと。 topological invarianとS^1 \wedge との関係について。空間レベルで、このような性質を持つ圏を構成したい。 s…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Xをproper simplicial spaceとし、k_*をhomology theoryとする。 各qについてk_q(X)はsimplicial abelian groupであり、d=\sum(-1)^id_iによりこれを複体とみなすことにより、ホモロジーH_*k*(X)をH_pk_q(…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf SUのcelluar objectとは、各X_qがCW複体で、d_i, s_jがcellular mapであること。 Theorem 11.5 geometric realizationと直積は交換する。 Theorem 11.12 n>=0とする。Xがstrictly properでX_qがn-q連結な…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Uをcompactly generated Hausdorff spaceの圏とする。 SUの対象Xのgeometric realizationとはX_q \times \Delta_qの直和の次の同値関係に夜商。 - (x,u) \in X_q \times \Delta_{q-1}の像(d_ix,u)と(x,d_i…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Uがmonoidalかつabelianとする。 SUの対象はUの複体をd=\sum(-1)^id_iにより定める。 さらにhがSUのfとgのホモトピーであるとき、s=\sum(-1)^ih_iはfとgの複体のホモトピーとなる。つまりds+sd=f-gである。…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf Uをmonoidal catとしGをそのmonoid objectとする。 G-objとはG \otimes X \to X付きのUの対象で適切な可換図式を満たすもの。 これはmonad GについてのG代数と同じ。 (Y,G,X)をGがUのmonoidでYがleft G-ob…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf D=\Lambda\Sigmaの場合を考える。ここで\Lambda:V \to Tと\Sigma:T \to Vは随伴。特にa:C_n \to \Omega^nS^nであればこれはC_nのdeloopingを考えることになる。 Theorem 9.11 a:C \to \Lambda\SigmaをTの…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf モナドの射a:C \to Dとして典型的にはA_\infty-operadのaugmentation \epsilon:C \to MまたはCをE_\infty-operadに付随するモナドとしてa_n:C_n \to \Omega^nS^nを考える。 Theorem 9.10 a:C \to DをTのモ…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf B_*(C,C,X)はXのsimplicial resolutionになっている。 つまり、CをTのモナドとしXをC代数とする。 このとき、\epsilon:B_*(C,C,X) \to X_*と\eta:X_* \to B_*(C,C,X)が定まり、\epsilon\eta=1である。 h:B…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf 圏T, Vに対して、圏B(T,V)と関手B_*:B(T,V) \to STを以下で構成する。 まずB(T,V)の対象は三つ組(F,C,X)であってCはTのmonadであり、FはC関手T \to Vで、XはC代数。 つまり、 - Cは関手C:T \to Tと自然変…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf (C,\mu,\eta)をTのモナドとすると(C_*,\mu_*,\eta_*)はSTのモナドであり、S(C[T])とC_*[ST]は一致する。 Tのモナド(C,\mu,\eta)に対し、C関手(F,\lambda)とは関手T \to Vと自然変換\lambda:FC \to Fであっ…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf ()_*:T \to STを定数関手とし、U:ST \to Tを0番目を対応させる関手とする。 このときHom(X,UY) \to Hom(X_*,Y)が定まる。 f:X \to UYからX_q \to Y_qをs_0^qfを対応させることでX_* \to Yが定まる。 g:UY …

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf STを圏Tの単体的対象のなす圏とする。 つまりTの対象X_qの列とd_i:X_q \to X_{q-1}, s_i:X_q \to X_{q+1}の列で、 - d_id_j = d_{j-1}d_i if i<j - d_is_j = s_{j-1}d_i if i<j, 1 if i=j or i=j+1, s_jd_{i-1} if i > j+1 - s_is_j = s_{j+1}s_i if i </j>

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf ここからは両側bar構成について紹介する。 幾何的実現により、 - 与えられたA_\infty空間と弱ホモトピー同値な位相モノイド - C_n空間のn-fold delooping - 位相モノイドのMilgram分類空間のStasheffによ…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf \Omega^nX=\Hom_T(S^n,X)とみなす。 スマッシュ積により\Omega^mX \times \Omega^nY \to \Omega^{m+n}(X \wedge Y)が定まる。 loopの積（ホモトピーの積を定めるもの）との間で分配法則が成り立つ。 つま…

http://www.math.uchicago.edu/~may/BOOKS/gils.pdf 近似定理 Xをコンパクト生成ハウスドルフ空間とする。 n >= 1に対して、C_nXを含む空間E_nXと\pi_n:E_nX \to C_{n-1}SX及び\tilde{\alpha}_n:E_nX \to P\Omega^{n-1}S^nXが存在して、 CnX \to EnX \to C(n…