はじめに

Toen-Vezzosiの

[1710.05902] Trace formula for dg-categories and Bloch's conductor conjecture I

を勉強する。

まずdg-catのtrace formulaというのを理解する。

Theorem 2.4.9ではl進実現に対する主張、そのあとのLemma 2.4.10が抽象的な状況での主張のよう。

Lemma 2.4.10

F:C \to Dをpresentable symmetric monoidal \infty-categoriesの間のlax symmetric monoidal \infty-functorとする。

BをCのmonoid、Mを左B-mod、f:M \to MをB-modの射とする。

Mは右双対M^oを持ち、自然な射F(M^o) \otimes_F(B) F(M) \to F(M^o \otimes_B M)が同値であるとする。

このときF(M)は右双対を持ち、F(Tr(f))=i(Tr(F(f)))が\pi_0(Hom_D(1,F(HH(B))))の元として成立する。ここでiは自然な射HH(F(B)) \to F(HH(B))から誘導される。

"left as an exercise to the reader" ということなので、これの証明をつけることを最初の目標にする。