C0 = {0 ,1}でC1={id0, id1, f, g}でf:0 \to 1とg:1 \to 0とする。 この時NC0={0, 1}, NC1={id0, id1, f, g}であり、NC0 \times \Delta0は2点集合、NC1 \times \Delta1は4本の線分である。 NC1 \times \Delta0 \to NC0 \times \Delta0は射の始域と終域をとる…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf もう少しgeometric realizationの計算の練習をする。 例えばC={0 \to 1}で0から1に射が二つあるものを考える。 これのnerve NCのgeometric realizationはどうなるか？ これも2-skelton以上は退化する。 NC0…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf 昨日の続きでC={0 \to 1}のnerve NCのgeometric realizationを計算する。 これはsimplicial set NCと\Deltaのtensor productを計算すればよく、NC_nに離散位相を入れた空間と\Delta_nの直積が定める関手のco…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf C = {0 \to 1}のnerve NCは、n >= 2でdegenerateする。 つまり、n-simplexが全てdegeneracy mapの像になっている。 https://stacks.math.columbia.edu/download/simplicial.pdf 実際、NC2は0 \to 0 \to 1な…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf 昨日の続きでd0:B1 \to B0とd1:B1 \to B0を計算する。 まずd0だが、これはB1の各直和成分C(c0,c1) \otimes Z(c1,c0)上の射を次で定める。C(c0,c1)をD(*c0,*c1)にうつし、この射からZ(c1,c0)=*\otimes Fc0 \t…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf 昨日の続きでB0 \to B1とB1 \to B0を調べる。 B0 \to B1は[1] \to [0]に対応する射で、bar constructionの定義では B0の直和成分Z(c0,c0)からの射Z(c0,c0) \to C(c0,c0) \otimes Z(c0,c0)をunitから定める。…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf homotopy colimitの例としてmapping cylinderをみる。 C={0 \to 1}とし、F:C \to Dとする。 Fを与えるのはDにおいてf:X \to Yを与えることと同値。 これに対してsimplicial bar construction B(*,C,F)がどの…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf 前日までの議論をまとめると、 \int^{c \in C}Bn(*,C,C(c,-)) \otimes Fc = \coprod_{\gamma:[n]\to C}F\gamma(0) であることが証明できる。 実際、これの左辺はc \mapsto N(c/C)nとFcのcoendであり、Setに…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf y:C^op \to [C,Set]をc \mapsto C(c,-)で定める。 これとunitへの定数関手*:C \to sSetのbar construction B*(*,C,yc)はnerve N(c/C)に一致することを確かめる。 Bn(*,C,yc)はc0,\ldots,cnを添え字として (C…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf bar constructionとhomotopy colimitの関係を見ていくための準備。 まずd \in Cに対し、coend \int^{c \in C} \coprod_{c \to d}Fc = Fd であることを確かめる。 \coprod_{c \to d}Fc \to Fdが各f:c \to d成…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf geometric realizationをXと\Deltaのテンソル積として定義できる。 simplicial set 7 - epsilon より一般に\Delta:\Delta \to Uを定めておけば、圏UにおけるXのgeometric realizationを定義することができる…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf Aをmonoidal catとしF:C^op \to AとG:C \to Aに対し、そのテンソル積F \otimes G:C^op \times C \to Aを(c,c') \mapsto Fc \otimes Gc'のcoendとして定義する。 これをenriched categoryに一般化すると、次…

K:M \to CとT:M \to Aに対し、昨日のcoendの構成を復習する。 まずC \to Setをc \mapsto C(Km,c)で作る。 さらに関手C(K-,c)T-M^op \times M \to Aを(m,n) \mapsto C(Km,c)Tnで定め、C \to [M^op\times M, A]をcに対し上の関手を対応させる関手とする。 この…

coendによるKan拡張の構成について。 関手K:M \to CとT:M \to Aに対し、Lan_KT:C \to Aをcに対してM^op \times M \to A (m,n) \mapsto C(Km,c)Tnのcoendを対応させる関手とする。 まずこれが関手であるかどうかについて。 Cの射f:c \to c'に対し、集合の射C(…

昨日の構成が自然かどうかを確かめる。 g:c \to c'に対してcolim TU(c) \to colim TU(c')とVc \to Vc'が定まり、 これがcolimitの普遍性から定まる射と可換かどうか調べる。 colim TU(c) \to Vc'が、まずVcを経由する射については、これがVcへの普遍性から定…

K:M \to C, T:M \to Aに対し、(V, \xi)をV:C \to Aと\xi:T \to VKに対して\phi:Lan_KT \to Vを構成する。 Cの対象cに対してcolim TU(c) \to Vcを定める。 これは上のcolimの図式の対象(m, f:Km \to c)に対し、\xi:Tm \to VKmとVf:VKm \to Vcを合成することで…

homotopy limitの話に入る前に、もう一度Kan extとcoendの関係についてしばらく整理する。 以前に前層が表現可能関手のcolimtでかけることをやったが、それと同様の考え方でleft Kan extをcolimitを使って具体的に構成できる。 K:M \to C, T:M \to Aに対し、…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf 左Kan拡張をcoendで書く。 K:M \to CとT:M \to Aに対し、M^op \times M \to Aを(m,n) \mapsto C(Km,c)Tnとする。 ここでC(Km,c)TnはTnのC(Km,c)を添え字に持つcopower。 このcoendを考えると、これがLan_KT…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf colimitを使ってKan拡張を構成する。 T:M \to AとK:M \to Cに対し、TのKに沿った左Kan拡張Lan_KT:A \to Cは (Lan_KT)c = colim(K/c \to M \to A)

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/hocolimits.pdf まずはKan extensionについて復習。 関手T:M \to AとK:M \to Cに対し、TのKに沿った左Kan拡張とは、 - 関手Lan_KT:C \to A - 自然変換\eta:T \to (Lan_KT)K の組であって、関手U:C \to Aと自然変換\xi:T \to…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf 昨日までの構成を振り返る。 F:\Delta \to Eに対し、R:E \to sSetをe \mapsto Re = (n \mapsto E(Fn, e))により定める。 これは左随伴L:sSet \to Eを持つ、つまりsSet(LX, e) = E(X, Re)がX, eについて自然に成り…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf sSetがcartesian closedであることを示す。 Y \in sSetに対し、Yとの積をとる関手sSet \to sSet X \maspto X \times Yが左随伴を持つことを示す。 F:\Delta \to sSet [n] \to n \times Yに対して互いに随伴な関手…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf nerve functor N:Cat \to sSetも先日の枠組みであつかえる。 F:\Delta \to Catを全順序集合を圏とみなすことによる埋め込みとし、R:Cat \to sSetをRXn = Cat(Fn, X)とすると、これはXのnerveである。 これは左随…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf まず関手\Delta:\Delta \to Topを[n]に対し(\Delta)nを標準単体を対応させる関手とする。 これを用いて特異複体関手S:Top \to sSetを位相空間Yに対して(SY)n = Top((\Delta)n, Y)により定める。 これは昨日の一般…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf 昨日の議論から、XとFのcoendを取ることで定まる関手L:sSet \to Eは特にL[n] = F[n]となることがわかった。 よってE(L[n], e) = E(F[n], e) = (Re)n = sSet([n], Re)となる。 したがってLとRは互いに随伴であるこ…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf F:\Delta \to Eに対し、関手L:sSet \to EをX:\Delta^op \to SetにXとFのcoendを対応させる関手として定義する。 特にXを[n]が表現する単体的集合としたとき、LXはFnになる。 まずFnがwedgeになることをみる。 XmF…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf coendとnatural transformの関係。 共変関手F:C \to Setと反変関手G:C \to Setに対し、図式FyGy \ot FxGy \to FxGxのwedge (fx:FxGx \to e)_xを考える。 tensorの普遍性からfx:Fx \to Hom(Gx, e)を定義でき、これ…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf Setにおけるtensorについて。 X, Yを集合とし、XY = \coprod_X Yとする。 つまりXで添え字づけられたYの直和。 これはHom(XY, Z) = Hom(X, Hom(Y,Z))をみたす。

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf limit/colimitを表現可能関手で書く。 F:I \to Cのlimit limFとは、Cの対象であって、Fiたちへの可換な射についての普遍性を持つもの。 これは次の関手を表現する対象とみなせる。 Cの対象xに対して、対角関手 \D…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf 今日からしばらくsimplicial setについて上のpdfを読んでいく。 Eをcocompleteでlocally smallとし、F:\Detla \to Eを関手とする。 このFを用いてR:E \to sSetを対象の対応を(Re)n = E(Fn, e)として定義する。 こ…