https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf example 2.26 E \to XをC^n-ベクトル束でXはコンパクトとする。 p:P(E) \to XはCP^n-fiber bundleで、L \to P(E)はcanonical bundleとする。 1, L, \cdots, L^{n-1} \in K(P(E))はK(CP^{n-1})の基底とな…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf B' \subset Bに対しE' = E \vert_{B'}とする。 \Phi: K^*(B) \otimes K^*(F) \to K^*(E)を\Phi(b \otimes i^*c) = (p^*b)cで定める。 ここでi^*:K(E) \to K(F)は制限でこれは全射？ この\Phiが(K(B,B') \…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Leray-Hirshの定理を示す。 thm 2.25 p:E \to Bをコンパクトハウスドルフ空間の間のFをファイバーとするファイバー束とする。 またK^*(F)が自由で、c_1,\ldots,c_k\in K^*(E)が各ファイバーでK^*(F)の基…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf K(CP^n) = Z[L]/(L-1)^{n+1}である。 0 \to K(CP^n,CP^{n-1}) \to K(CP^n) \to K(CP^{n-1}) \to 0 が完全であることから、帰納的に示す。 K(CP^n,CP^{n-1})=\tilde{K}(S^{2n})であり、 \tilde{K}(S^2) \o…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf splitting principleを証明する。 Xを有限セル複体でnセルからなるとする。このときK^*(X)は高々n元で生成される。 さらに全てのセルが偶数次元ならK^1(X)=0であり、K^0(X)は各セルを基底にもつ自由群。 …

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf f:S^{4n-1} \to S^{2n}のHopf不変量は \tilde{K}(S^{4n} \to \tilde{K}(C_f) \to \tilde{K}(S^{2n})で\tilde{K}(S^{4n})の生成元をaとし、\tilde{K}(S^{2n})の生成元をbとしたとき、a,b \in \tilde{K}(C_…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf Bott periodicityから\tilde{K}(S^{2n})=Zであることがわかる。 \psi^k:\tilde{K}(S^{2n}) \to \tilde{K}(S^{2n})はk^n倍写像。 まずn=1の場合、\tilde{K}(S^2)の生成元をa=H-1とすると、\phi^k(H-1)=H^k…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf \tilde{K}(X) \otimes \tilde{K}(Y) \to \tilde{K}(X \wedge Y)において、 \phi^k(a*b) = \phi^k(a)*\phi^k(b)となる。 実際 \phi^k(a*b) = \phi^k(p_1^*(a)p_2^*(b)) = \phi^k(p_1^*(a))\phi^k(p_2^*(b)…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf splitting principle Xをコンパクトハウスドルフ空間でE \to Xをベクトル束とした時、 あるコンパクトハウスドルフ空間p:F(E) \to Xであって、p^*が単射であり、 p^*Eが直線束の和に分解する。 これを用…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf \psi^kの構成。 まずNewton polynoial s_kをt^k_1+\cdots+t^k_nを基本対称式の多項式で表したものs_k(\sgima_1,\ldots,\sigma_n)とする。 次に\lambda^k(E)をEのk階外積とし、\psi^k(E) = s_k(\lambda^1(…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf コンパクトハウスドルフ空間Xと正整数kに対し環準同型\psi^k:K(X) \to K(X)がXについて自然に定義され、 - 直線束Lに対し\psi^k(L) = L^k - \psi^k\psi^l = \psi^{k+l} - 素数pに対し\psi^p(a) = a^p mod…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf g:S^{2n-1} \times S^{2n-1} \to S^{2n-1}がH-spaceの積とすると、\hat{g}:S^{4n-1} \to S^{2n-1}のHopf invariantは\pm 1である。これを証明する。

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf nが偶数とし、f:S^{4n-1} \to S^{2n}を考え、fによりS^{2n}にD^{4n}を貼り合わせたものをC_fとする。 するとC_f/S^{2n}はS^{4n}であり、 完全列0 \to \tilde{K}(S^{4n} \to \tilde{K}(C_f) \to \tilde{K}…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf g:S^{n-1} \times S^{n-1} \to S^{n-1}から\hat{g}:S^{2n-1} \to S^nを定める。 S^{2n-1}をD^n \times D^nの境界とみなし、 これを\partial D^n \times D^n \cup D^n \times \partial D^nとみなす。 ここ…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf S^{2k}はH-spaceでないことがK(S^{2k})の構造からわかる。 \mu:S^{2k} \times S^{2k} \to S^{2k}が存在するとすると、K-ringの準同型 \mu^*:Z[c]/(c^2) \to Z[a,b]/(a^2,b^2)を誘導する。 i:S^{2k} \to e…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf S^{n-1}がH-spaceとは連続な積S^{n-1} \times S^{n-1} \to S^{n-1}と両側単位元eを持つこと。ただし結合性や逆元は仮定しない。 R^nがdivision algebraであるか、S^{n-1}が平行可能であればH-spaceである…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf S^nX \to \Sigma^nX = S^n \wedge XはD^nを潰す射で、これは\tilde{K}の同型を導く。 昨日の話から、\tilde{K}(S^2) \otimes \tilde{K}(X) \to \tilde{K}(S^2 \wedge X)が定まるので、H-1 \in \tilde{K}(…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf \tilde{K}(X) \oplus \tilde{K}(Y) \to \tilde{K}(X \times Y)はsplitする。 この射はX \vee Y \to X \times Yでの制限から誘導されるもので、pr1, pr2:X \times Y \to X, Yにより\tilde{K}(X) \oplus \t…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf X \wedge Yのreduced Kについて調べる。 X \wedge Y = X \times Y / X \vee Yなので、以下の長完全列がある。 \tilde{K}(S(X \times Y)) \to \tilde{K)(S(X \vee Y)) \to \tilde{K}(X \wedge Y) \to \til…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf \tilde{K}(X/A) \to \tilde{K}(X) \to \tilde{K}(A)を延長して、 \tilde{K}(SX) \to \tilde{K}(SA) \to \tilde{K}(X/A) \to \tilde{K}(X) \to \tilde{K}(A)を定める。 X \cup CA \to X/A = (X \cup CA)/C…

https://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VB.pdf external product theoremからBott periodicityを出す。 XとYのsmash product X \wedge Y = X \times Y / X \vee Yのreduced K-theoryを考える。 まず空間対(X, A)に対し、\tilde{K}(X/A) \to \tilde{K}(…

https://arxiv.org/pdf/math/0602082.pdf

Shttp://homepages.math.uic.edu/~mholmb2/serre.pdf 次にcolumnwise filtrationから定まるスペクトル系列を調べる。 S_{p,q}(\tau)をbase成分が\tauであるchainの集合とすると、これはMap(\Delta^p,E) \to Map(\Delta^q,B)の\tauでのファイバーF_\tauの特異…

http://homepages.math.uic.edu/~mholmb2/serre.pdf 昨日の二重複体から定まるスペクトル系列を計算する。 まず、rowwise filtrationから定まるスペクトル系列を見ると、E^1-pageが全空間の特異ホモロジーになることがわかる。 さらにE^2-pageを計算すると、…

http://homepages.math.uic.edu/~mholmb2/serre.pdf Serre specrtal sequenceの二重複体による構成。 特異チェインを使って二重複体を定義し、それがSerre spectral sequenceになることを確かめる。 degree (p,q)-partは\Delta^p \times \Delta^q \to \Delta…

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https://www.maths.tcd.ie/~cblair/notes/kex.pdf S^nのK-theoryの計算。 S^0は2点で、1点上の複素ベクトル束は複素ベクトル空間だからK(S^0)=Z \oplus Zで積は成分ごと。 S^1上の複素ベクトル束は全て自明である。 S^1を二つの区間の和で表したとき、それぞ…

basic complex line bundle on the 2-sphere in nLab basic line bundleをHで表す。 これはS^1 \to C^\times z \mapsto zで貼り合わせたもの。 H \oplus H = (H \otimes H) \oplus 1となる。 貼り合わせ関数のホモトピーを作る。 左辺はz \mapsto zE_2 \in G…