https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf * \in CWのHoSpectraでの像はまずCW*に写って* + *=S^0になり、 \Sigma^\inftyS^0 = Sとなる。 これらがlax monoidalであること、*がcommutatibe monoidであることを使うと、Sがcommutative monoid…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf 昨日のように、\otimesとIについての自然変換を持ち、unit, assoc, symmと交換する子関手をlax monoidalという。 忘却関手Ab \to Setはlax monoidalである。 台集合の直積からテンソル積の台集合に…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf exercise. (\Sigma X) \wedge Y = (\Sigma^\infty S^1) \wedge X \wegde Y = \Sigma(X \wedge Y) \OmegaF(X,Y) = F(\Sigma^\infty S^1, F(X,Y)) = F(\Sigma^\infty S^1 \wedge X, Y) =F(\Sigma X, Y…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf exercise. HoSpectraの自己関手\Sigmaと\Omegaを - \Sigma(X) = (\Sigma^\infty S^1) \wedge X - \Omega(X) = F(\Sigma^\infty S^1, X) と定義する。 このとき、これらは随伴になる。 実際、 [\Sigm…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf nが負の数なら[X,Y]n=[\Omega^nX,Y]と定める。 これにより負のnについて\pi_n(X)=[S,X]n=[\Omega^nS,X]と定めることができる。 Exercise. [Z,F(S,X)]=[Z \wedge S, X]=[Z,X]より、F(S,X), Xが表現す…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf 昨日の計算。 \Sigma^\infty:HoTop* \to HoSpectraと\Simga^n:HoSpectra \to HoSpectraが交換するか？ 3ページの図式によれば\Sigma\Sigma^\infty=\Sigma^\infty(\Gamma\Sigma)となる。 ここで\Gamm…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf HoSpectraは余積X \vee Yと積X \times Yを持ち、零対象 * を持つ。 これにより、HoSpectraは加法圏になる。 さらに[X,Y]を次数付きにすることができる。[X,Y]n=[\Sigma^nX, Y]とする。 shpere spect…

https://faculty.math.illinois.edu/~cmalkiew/stable.pdf stable homotopy categoryをHoSpectraと書くことにする。 suspension spectrumを定める関手HoTop_* \to HoSpectraが存在する。 loop spaceを定める関手\Omega:HoSpectra \to HoTop_*がこれの右随伴…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf stable homotopy categoryは次のような性質を持つ。 - 随伴\Sigma : T \to SHC : \Omegaを持つ - 三角圏でsuspensionが圏同値 - 加法圏、次数付き - 任意の積と余積を持つ - closed symm monoidal -…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf spectrumの例としては、 suspension spectra \SigmaXを(\SigmaX)_n=S^n \wedge Xで定める。 また特にsphere spectrum S^n=\SigmaS^nを定めることができる。 Eをspectraとし、そのホモトピー群\pi_n(…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf Brown representability Eを加法的コホモロジー理論とする。 この時、点付きCW cpxの列K_nとhtpy eq \sigma_n:K_n \to \OmegaK_{n+1} 及びu_n \in E^n(K_n)であって、u_nの引き戻しが定める射[X,K_n…

http://www.ms.uky.edu/~pjbo227/spectra-gradsemtalk.pdf AtiyahとHirzebruchによる位相的K理論。 Bott周期性\pi_n(BO) \cong \pi_{n+8}(BO)から\tilde{K}O(X) = [X, BO\times \Z]の周期性\tilde{K}O^n(X) \cong \tilde{K}O^{n+8}(X)が成立。 ベクトル束の…