topological K-theory in nLab Bott elementについて。 S^2の複素直線束でc_1がH^2(S^2,Z)の生成元であるものをbasic line bundleという。 これはP^1(C)のtautological bundleである。 basic complex line bundle on the 2-sphere in nLab これをhと表し、h …

Chevalley-Eilenberg cochain complex in nLab gをLie algebraとしVをg-modとする。 \Wedge^p g^* \otimes VはVに値を持つp次交代形式とみなすことができ、これが複体を定める。 d:\Wedge^p g^* \otimes V \to \Wedge^{p+1} g^* \otimes Vを - v \in Vについ…

chain complexで具体的に書くと、 g = T_eGとみて、\Wedge g^*の元はT_eG上の交代形式 \omegaである。 これに対してd\omegaを\sum_{i

Lie algebra cohomology in nLab gをLie algebraとし、Mをg-moduleとする。M \mapsto M^gはleft exactである。 このright derived functorとしてH^i(g,M)を定義する。 またN \mapsto Hom_Ug(M,N)のright exact functorをExt^i_Ug(M, N)とする。 このとき、H^…

topological K-theory in nLab Xをpointed topspとし、* \to Xが定めるK(X) \to K(*)のkerを\tilde{K}(X)とかきreduced K-theoryという。 この射はsplitし、K(X) = \tilde{K}(X) \oplus Zと直和分解する。 Xをcpt HausdorffでA \subset Xをclosedとした時K(X…

topological K-theory in nLab top space Xに対し、K(X)をX上のベクトル束の同型類のなす集合に直和で半群構造を定め、そこから形式的に逆元を付け加えて作った群とする。 またK^{-n}=K(\Sigma^nX)としてhigher K-groupを定める。 ここで\Sigma Xはreduced s…

https://www.math.upenn.edu/~blockj/papers/prdsty.pdf U=\lim_n U(n), GL(C)=lim_n GL(n,C)としたとき、 \pi_n(U)=\pi_n(GL(C))はnがevenの時0でoddの時Zとなる。 また\pi_n(O)=\pi_n(GL(R))はn mod 8で決まる。 https://math.uchicago.edu/~chicagotopolo…

https://arxiv.org/pdf/1210.0290.pdf

https://www.impan.pl/swiat-matematyki/notatki-z-wyklado~/loday_cht_1.pdf Tr:M_r(A) \to AはHC(M_r(A)) \to HC(A)を誘導する。 さらにK_0(A) \to HC(A)を定義できる。

Alexander-Whitney mapとEilenberg-Zilber map simplicial moduleからchain complexを構成する。 これをAに対しC(A)とし、C(A \otimes B)とC(A) \otimes C(B)を比較する。

cosimplicial spaceのgeometric realization https://arxiv.org/pdf/math/0110213.pdf https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/bk-yellow.pdf https://chromotopy.org/latex/talks/cosimp-SS.pdf https://arxiv.org/pdf/1408.1665.…

https://arxiv.org/pdf/1110.0405.pdf Mを多様体とし、\Omega(M)をそのde Rham algebraとする。 singular cochain algebra S(M)とdgaとしてqisであり、HHは一致する。 singular cochain algebraとloop spaceのhomologyを比較する。

p1, p2がS_n(X \times X) \to S_n(X)を誘導し、

https://arxiv.org/pdf/1110.0405.pdf cosimplicial spaceとは関手\Delta \to Spaceのこと。 特に\Deltaはn単体を対応させる関手としてcosimplicial spaceである。 Zをcosimplicial spaceとし、そのgeometric realizationを\prod Hom_top(\Delta(n) , Z(n))…

https://arxiv.org/pdf/1110.0405.pdf 離散群Gの分類空間BGと\Gamma Gの構成。 BGはn \mapsto G^nでd_i:G^n \to G^{n-1}をi番目とi+1番目の積（ただしd_0は1番目を除き、d_nはn番目を除く）で定まる写像、s_j:G^n \to G^{n+1}をj+1番目に1を入れる写像で定め…

https://arxiv.org/pdf/1110.0405.pdf simplicial set S^1を次のように定義する。 - S^1_0 = {*} - S^1_1={*, t} - S^1_2={*, s_1t, s_0t} - S^1_3={*, s_2s_1t,s_2s_0t,s_1s_0t} - ...

http://www-bcf.usc.edu/~hoyois/papers/chern.pdf MをA-bimodとし、Hochschild complex C(A,M)とは、simplicial k-mod C_n(A,M)=M \otimes A^{\otimes n}のことで、d_i:C_n \to C_{n-1}は - i=0, m \otimes a_1 \otimes \cdots \otimes a_n \mapsto ma_1 \o…

http://www-bcf.usc.edu/~hoyois/papers/chern.pdf classical Chern characterの復習。 kを可換環としAをk-algとする。 AのChern characterは自然なgraded groupの射ch^-_*:K_*(A) \to HC^-_*(A)である。 例えばkを代数閉体とし、Gを有限群で位数がkで可逆と…

Tabuadaの A \mapsto C(A)としてsmall k-flat k-cat Aに対し、k[B]/(B^2)上のdg module C(A)を適切に定めると、これはfiltered hocolimと交換しpointを保ちDrを満たす。 したがってuniversal invariant U_lを経由する。 small dg cat Aに対し、そのnon-conne…

Tabuadaの theorem 9.7とremark 9.9からtriangulated derivatorの同値 \phi:St(L_{\Sigma,P}Hot_{dgcat_f}) \to HO(Sp^N(L_{\Sigma,P}Fun(dgcat^op_f,Sset_\bullet))) がある。 Eをfull dg subcatの埋め込みG \to HでHがstrict finite I-cellであるもの全体…

Tabuadaの https://arxiv.org/pdf/0706.2420.pdf Hがstrict finite I-cellとし、Eを充満部分dg圏の埋め込みG \to H全体のなす集合とする。 Dをptd derivatorとし、Mを1 \to 0に対応する圏とする。関手1:e \to Mはopen immersionでDがptdなので、t_!:D(e) \to…