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* \in CWのHoSpectraでの像はまずCW*に写って* + *=S^0になり、
\Sigma^\inftyS^0 = Sとなる。
これらがlax monoidalであること、*がcommutatibe monoidであることを使うと、Sがcommutative monoidであることがわかる。
HoSpectraはabel圏であり、これはcomm ring strである。
さらにこれのhomotopyもskew-commutative ringになる。
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昨日のように、\otimesとIについての自然変換を持ち、unit, assoc, symmと交換する子関手をlax monoidalという。
忘却関手Ab \to Setはlax monoidalである。
台集合の直積からテンソル積の台集合に自然な射があり、一点からZに射がある。
unit, assoc, symmとも交換する。
またこの左随伴として集合に対し、それを基底にもつ自由アーベル群を対応させる関手を考えると、Z^{X \times Y}=Z^X \otimes Z^Y, Z^{*}=Zであるからstrong monoidal
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exercise.
(\Sigma X) \wedge Y = (\Sigma^\infty S^1) \wedge X \wegde Y = \Sigma(X \wedge Y)
\OmegaF(X,Y) = F(\Sigma^\infty S^1, F(X,Y)) = F(\Sigma^\infty S^1 \wedge X, Y) =F(\Sigma X, Y)
F:C \to Dが自然変換F(X) \otimes F(Y) \to F(X \otimes Y), I_D \to F(I_C)をもち
unit, assoc, symmと交換するとする。
このとき、Fはmonoidをmonoidに移す。
\mu:M \otimes M \to M, i:I \to Mとする。
このとき、F(\mu):F(M \otimes M) \to MはF(M) \otimes F(M) \to F(M \otimes M)と合成することでF(M)の積を定め、F(i)も同様に単位元を定める。
自然性から図式は可換になる。
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exercise.
HoSpectraの自己関手\Sigmaと\Omegaを
- \Sigma(X) = (\Sigma^\infty S^1) \wedge X
- \Omega(X) = F(\Sigma^\infty S^1, X)
と定義する。
このとき、これらは随伴になる。
実際、
[\Sigma X, Y] = [(\Sigma^\infty S^1) \wedge X, Y] = [X, F(\Sigma^\infty S^1, Y)] = [X, \Omega Y]
である。
これを用いて群構造を定めることができるらしいが、よく分からない
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nが負の数なら[X,Y]n=[\Omega^nX,Y]と定める。
これにより負のnについて\pi_n(X)=[S,X]n=[\Omega^nS,X]と定めることができる。
Exercise.
[Z,F(S,X)]=[Z \wedge S, X]=[Z,X]より、F(S,X), Xが表現する関手は一致するので米田より。
[W, F(X \wedge Y, Z)] = [W \wedge X \wedge Y, Z]=[W \wedge X, F(Y, Z)]=[W, F(X, F(Y, Z))]となるので米田より。
[X \wedge F(X,Y), Y]=[F(X,Y) \wedge X, Y]=[F(X,Y), F(X,Y)]よりid_F(X,Y)を戻して自然な射を定める。
[X,F(Y,X \wedge Y)]=[X \wegde Y, X \wedge Y]によりidを戻して自然な射を定める。
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昨日の計算。
\Sigma^\infty:HoTop* \to HoSpectraと\Simga^n:HoSpectra \to HoSpectraが交換するか？
3ページの図式によれば\Sigma\Sigma^\infty=\Sigma^\infty(\Gamma\Sigma)となる。
ここで\GammaはCW近似？
もともとCW複体だとこれは必要なさそうなので、上の交換はCW複体に対してはよさそう。
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HoSpectraは余積X \vee Yと積X \times Yを持ち、零対象 * を持つ。
これにより、HoSpectraは加法圏になる。
さらに[X,Y]を次数付きにすることができる。[X,Y]n=[\Sigma^nX, Y]とする。
shpere spectrum S=\Sigma^\infty S^0を用いて、Xのstable homotopy groupを
\pi_n(X)=[S,X]_n=[\Sigma^nS, X]と定義する。
Kを点付きCW複体とすると、\pi_n(\Sigma^\inftyK)は通常のstable homotopy groupと一致する。
[\Simga^n\Sigma^\inftyS^0,\Sigma^\inftyK]=[\Sigma^\inftyS^n,\Sigma^\inftyK]=[S^n,\Omega^\infty\Sigma^\inftyK]と計算できる？
