http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf Yonedaとweighted limit/colimitの関係について、の前にenriched Yonedaの確認。 CをV-catとし、V-functor F:C^op \to Vとする。 x \in Cに対し、xとFについて自然な以下の二つの同型がある。 1. [C^op,V]_0(C…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf Setにおけるpowerとcopowerのadjunctionについて。 添え字集合Jを固定して、Setにおける自己関手D \mapsto D^JとE \mapsto JE=\coprod_J Eを考える。 powerの普遍性はSet(E, D^J) = Set(J, Set(E, D))であり、…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf V=Setにおいて集合Dの添え字集合Jについての直積D^JはSet(x, D^J)=Set(x \times J, D)=Set(J, Set(x, D))を表現する対象。 これをweighted limitとして書く。 A=B=*とし、J:* \to Set, D:* \to Setはいずれも…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 通常の圏Cに対してV-cat V[C]を対象はCの対象と一致し、射V[C](x,y)はC(x,y)で生成される直和\coprod_V(x,y) Iのこと。Vがcoproductを持つことは仮定されている？ これをfree V-categoryという。 またV-cat C…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf weighted limitの定義。 D:A \to Mとbimodule J:A \otimes B^op \to Vに対し、DのJ-weighted limitとは、 V-functor lim^JD:B \to Mであって、m, bについて自然な同型 M(m,(lim^JDb) \to Hom_A(J(-,b),M(m,D-)…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 改めてbimoduleのhomと\otimesのadjointについて。 KをB-C-bimodとする。 このとき二つのV-functor F=-\otimes_B K:(A-B-bimod) \to (A-C-bimod)とG=Hom_C(K,-):(A-C-bimod) \to (A-B-bimoc)は互いに随伴にな…

V-functorの間のnatural transformationの定義について。 http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10.pdf の1.2を参照。 二つのV-functor T,S;A \to Bの間のV-natural transform \alphaはAのob aごとに定まる射\alpha_a:I \to B(Ta, Sa)であって…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf bimoduleのhomと\otimesの間のadjunctionについて。これはV-functorとしてのadjunctionを与えている。 まずはV-adjunctionについてみてみる。 http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10.pdf 二つ…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf bimoduleのhomを定義する。 J:A \otimes B^op \to VとK:B \otimes C^opに対してJ \otimes K:A \otimes C^op \to Vを (a,c) \mapsto J(a,-) \otimes_B K(-,c)により定義した。 射の対応はVにおける(x \otimes -…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf bimoduleの\otimesを定義する。 J:A \otimes B^op \to VとK:B \otimes C^op \to Vに対し、J \otimes K:A \otimes C^op \to Vを次のように定義する。 まず対象の対応は(a,c) \in (A \otimes C^op)_0 = A_0 \tim…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf A, BをV-catとした時、V-cat B^opおよびA \otimes Bを - 対象はB_0で射はB^op(b,b')=B(b',b) - 対象は直積A_0 \times B_0で、射はA \otimes B((a,b),(a',b')=A(a,a') \otimes B(b,b') で定めることができる。 …

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 昨日の計算の続き。 [C,D](F, G) \otimes [C,D](G, H) \to [C,D](F, H)を定義する。 随伴から決まる射D(Fa, Ha) \to V(C(a,b), D(Fa, Hb))たちは射を先に合成するか、後に合成するかのふた通りあって、どちら…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf C, DをV-categoryとし、G, HをV-functor C \to Dとする。これに対しHom(G,H) \in V_0を前に定義したように、次のequalizerとして定義する。 \prod_{c \in C} D(Gc, Hc) \to \prod_{a,b \in C} V(C(a,b), D(Ga,…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 対象がいくつかある場合のAb-enriched categoryがどういうところで出てくるのかまだわかってないが、いわゆるgroupoidというかpath全体の作用みたいなものはそう捉えられるはず。 あとは群の表現全体みたいな…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 対象が2点x, yのAb-enriced category CからのAb-functor M:C^op \to AbとN:C \to Abに対して、そのtensor product M \otimes_C Nを定義する。 これはAbにおけるcoequalizerとして定義するので、これ自体がAbel…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 対象が2点からなるAb-enriched category Cを考えてみる。 対象をx, yとする。 この時、4つのabel群Cx,x, Cx,y, Cy,x, Cy,yが定まる。 対象が1点の場合と同様にCx,xおよびCy,yは環の構造を持つ。 一方Cx,yおよ…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf 昨日の設定の続きでR-modのHomと\otimesを定義する。 改めてobが1点のAb-enriched categoryをRと書き、環R(*, *)のこともRと書く。R自身はAbのobjectである。 Ab-functor M:R \to AbはM(*)=Mに左R-modの構造を…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf enriched categoryの文脈でR-modのテンソル積を一般化する。 V=Abをアーベル群のなすclosed symmetric monoidal categoryとする。 V(x,y)はHom_Ab(x,y)に普通の写像の加法としてabel群の構造を入れたものとし…

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/weighted.pdf これを読む

昨日の続きでN(BM)のgeometric realizationを計算しようと思ったが、できなかった。 もう一度coendからやり直し。

nerve in nLab Cをsmall categoryとする。 Cのsimplicial nerve N(C)とはsimplicial setで0以上の整数nに対し、全順序集合[n] = \{0, 1, ..., n\}を圏と見なしたものからCへの関手のなす集合を定めるもの。 例えばMをmonoidとし、1点からなる圏で射がMである…

weighted limitの例としてhomotopy limitをみていく。 weighted limit in nLab とりあえず今日は設定だけ。 V=sSetとし、KをK_0=\{r, s, t\}でK(x,x)およびK(r,t), K(s,t)は1点で他は\emptysetとする。 1点の間の射により合成が定まっており、unitも1点の間…

end in nLab enriched categoryおよびendの例として、距離空間とその間の射の距離を考える。 V=\R_>0 \cup {\infty}を正の実数と無限大からなる順序集合とし、それを圏と思う。さらに足し算によりmonoidal categoryとみなす。unitは0である。射の向きはx >= …

改めてweighted limitをやる。 weighted limit in nLab Vをclosed symmetric monoidal catとし、F:K \to C, W:K \to VをV-functorとする。 FのWをindexとするweighted limitとは次で定まる関手を表現するCの対象lim^WF。 C^opの対象cに対し、関手C(c, F(-)):…

end in nLab 一般のV-cat Xに値を持つV-functor F:C^op \otimes C \to Xのendは次のように定義する。 x \in Xに対して関手C^op \otimes C \to VをX(x, F(-,-))により定め、そのend \int_C X(x, F(-,-)) \in Vが存在するとき、これにより関手X \to Vが定まる…

V-enriched functorとしての表現可能関手。 まずV-cat Cの対象cについて、cが表現する関手C(c,-):C \to Vとは - 対象の対応はd \mapsto C(c,d) - 射の対応はCの対象d, d'に対してVの射C(c,-)_d,d':C(d,d') \to [C(c,d), C(c,d')]を次のように定める。 Vがclo…

改めてV-natural transformについて。 C, DをV-catとしF, G:C \to DをV-functorとする。 二つのV-functorの間の自然変換を定めたい。 普通の圏における自然変換は、Cの対象cごとに射Fc \to Gcを定める。 V-catではD(Fc, Gc)が集合ではないので、その元を取る…

end in nLab CをV-catとする。x, y \in Cに対し、Hom_V(1,C(x,y))を考えると、これは集合。 特にVをV-catと見る、つまりinternal hom x^yをV(x,y)とすることでV-catの構造を定めると、上の操作で元のVの通常の圏としてのHom_V(x,y)は Hom_V(1,V(x,y)) = Hom_…

end in nLab まずは普通の圏におけるendの定義から。 F:C^\op \times C \to Xを関手とする。 Fの関手性からCの射f:c \to c'に対し - F(f,c'):F(c',c') \to F(c,c') - F(c,f):F(c,c) \to F(c,c') が定まる。 FのwedgeとはXの対象wとCの対象cごとに定まる射e_c…

weighted limit in nLab F:K \to Setのlimitは[K,Set](\Delta pt, F)である。 つまり、KからSetへの関手の圏[K,Set]における射、すなわち自然変換\Delta pt \to Fのなす集合がlim Fである。 自然変換\Phiに対し、各Kの対象kごとに\Phi(k):\Delta pt(k) \to F…